Question

gente alguem sabe a raiz quadrada de 20​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\sqrt{20}\approx\dfrac{51841}{11592}\approx4.472136}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos uma aproximação para a raiz de 20, utilizaremos o método de Newton-Raphson.

Consiste em utilizarmos uma função com raiz neste ponto, de forma que a cada iteração, fiquemos mais próximo de uma aproximação com erro mínimo.

A fórmula que utilizaremos é

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, na qual $f'(x)$ é a derivada da função.

A função que utilizaremos, como dito acima, deve ter raiz no ponto que buscamos, logo ela será:

$f(x)=x^2-20$

Calculando a derivada desta função, por meio da regra da potência

$\dfrac{d}{dx}x^n=n\cdot x^{n-1}$

e sabendo que a derivada de uma constante é igual a zero, teremos

$f'(x)=2x$

Substitua este valor na fórmula

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{{x_n}^2-20}{2x_n}$

A primeira iteração deve ser feita utilizando quadrados perfeitos. Observe que $16<20<25$, logo isto significa que $4<\sqrt{20}<5$.

Utilizando a aproximação superior, teremos

$x_{1}=5-\dfrac{5^2-20}{2\cdot 5}$

Calculando a potência e somando os valores

$x_{1}=5-\dfrac{25-20}{10}\\\\\\ x_1=5-\dfrac{5}{10}$

Simplifique a fração

$x_1=5-\dfrac{1}{2}\\\\\\ x_1=\dfrac{9}{2}$

Então, uma aproximação para a raiz de 20 será 4.5

Quanto mais iterações fazemos, melhor é a aproximação, logo

$x_2=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{9}{2}\right)^2-20}{2\cdot\dfrac{9}{2}}$

Calculando a potência e somando os valores, teremos

$x_2=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\dfrac{81}{4}-20}{9}\\\\\\ x_2=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{81-80}{4}\right)}{9}\\\\\\\ x_2=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{36}$

Somando as frações

$x_2=\dfrac{161}{36}$

Fazendo mais uma iteração, teremos

$x_3=\dfrac{161}{36}-\dfrac{\left(\dfrac{161}{36}\right)^2-20}{2\cdot\dfrac{161}{36}}$

Calcule a potência e some os valores

$x_3=\dfrac{161}{36}-\dfrac{\dfrac{25921}{1296}-20}{\dfrac{161}{18}}\\\\\\ x_3 \dfrac{161}{36}-\dfrac{\left(\dfrac{25921-25920}{1296}\right)}{\left(\dfrac{161}{18}\right)}\\\\\\ x_3=\dfrac{161}{36}-\dfrac{18}{1296\cdot161}\\\\\\ x_3=\dfrac{161}{36}-\dfrac{1}{11592}$

Somando as frações, teremos

$x_3=\dfrac{51842-1}{11592}\\\\\\ x_3=\dfrac{51841}{11592}$

Esta é uma ótima aproximação para a raiz de 20, seu resultado é 4.472136