Question

Gente, alguém me explica +/- sobre equações de 1º e 2º grau? Vou fazer a prova da etec amanhã e to bem confusa ajsklaks obrigada <3

Answer 1

Sem muitos detalhes, equação é tudo o que exprime relação de igualdade.

O que não é uma equação?

4 + 8 = 7 + 6
x - 5 < 3
5 ≠ -3

Equação de 1º grau

ax + b = 0, onde a e b são diferentes de zero

a é chamado coeficiente angular
x é a incógnita, o valor que queremos descobrir
b é o coeficiente linear

Raiz

Quando descobrimos o valor de x, encontramos a raiz da equação. Mas como encontrar a raiz?

$ax + b = 0\\ ax +b - b = 0 -b\,\,\,:\,\, subtraimos\,b\,nos\,dois\,lados\\ ax = -b\\ \frac{ax}{a} = \frac{-b}{a} \,\,\,:\,\,dividimos\,por\,\,{\bf a}\,\,a\,igualdade\\\\ x = - \frac{b}{a}$

Exemplo:

$2x + 3 = 0\\ 2x = -3\\ x = -\frac{3}{2}$

Para conferir o resultado, substitua (-3/2) em 2x + 3, se der 0 é porque o resultado está correto.


Equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0, onde a, b e c ∈ R e a ≠ 0

Exemplos:

a) -x² + 100x, onde a = -1, b = 100 e c = 0
b) 3x² -2x + 1, onde a = 3, b = -2 e c = 1
c) x² - 4, onde a = 1, b = 0 e c = -4
d) 20x², onde a = 20, b = 0 e c = 0

A equação (b) é chamada equação completa, as demais são ditas incompletas.


Equação canônica

$x = \frac{-b + - \sqrt{b^{2} - 4ac} }{2a}$

Chamamos $\sqrt{b^{2}-4ac}$ de Δ (delta)

Subistituindo os valores de a, b e c da equação, obtemos as raízes da equação. O valor de Δ nos dão algumas dicas de quantas raízes encontraremos. Vejamos:

Se Δ > 0, encontramos duas raízes reais diferentes.

Se Δ = 0, temos duas raízes reais iguais.

S Δ < 0, não existem raízes reais, encontramos duas raízes complexas (pertencentes ao conjunto dos números complexos)


Todas estas equações podem ser resolvidas pela equação canônica, também conhecida como fórmula de Báscara. Mas existem mais formas de resolver uma equação quadrática.

Vamos aos exemplos.

-4x² + 1 = 0
a = -4, b = 0, c = 1

Δ = b² - 4.a.c ⇒ Δ = (0)² - 4.(-4).1 = 0 + 16 = 16
Δ > 0, então possui duas raízes reais. São elas:

$x = \frac{-b +- \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ x' = \frac{-0 + \sqrt{16} }{2(-4)} = \frac{4}{-8} = - \frac{1}{2} \\ x' = \frac{-0 - \sqrt{16} }{2(-4)} = \frac{-4}{-8} = + \frac{1}{2}$

Outra forma de resolver seria

$-4x^{2} +1 = 0\\ -4x^{2} = -1\\ x^{2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \,\,:\,\,pela\,regra\, de\, sinais\,,fica\,positivo\\ x = \sqrt{ \frac{1}{2} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{4}}\\ como\,podemos\,ter\, \sqrt{1} = 1 \,e\, -\sqrt{1} =-1$

Um outro modo de resolver, seria por fatoração:

$-4x^{2}-1=0\\ \left(2x+1\right)\left(2x-1\right) = 0\\\\ x = -\frac{1}{2} \,\,e\,\, x = \frac{1}{2}$