Question

gente ajuda pf!!

PUCPR ​

Answer 1

Primeiro tenho de dar os créditos ao pessoal do forumeiros, eles me deram a luz para entender essa questão.

É um problema de função composta. Contudo, a função composta resultante vai depender da paridade de n.

Vamos primeiro investigar a primeira função, imagine que n seja ímpar:

$f(n) = n + 3 \text{, n impar}$

Mas se n é ímpar, a soma de um ímpar com outro ímpar só pode resultar em um número par. Por exemplo: 1 + 3 = 4 (par), 3 + 3 = 6 (par), 5 + 3 = 8 (par).

Assim sendo, a primeira composta, $f(f(n))$ vai ser:

$f(f(n)) = \dfrac{f(n)}{2} = \dfrac{n+3}{2}$

Mas agora, como n é ímpar, e n + 3 é par, temos que o resultado dessa função pode ser par ou ímpar:

a) Se n = 1, 5, 9, 13,..., então $\dfrac{n+3}{2}$ é par.

b) Se n = 3, 7, 11, ..., então $\dfrac{n+3}{2}$ é ímpar.

Assim sendo, no primeiro caso (resultado par), usaremos a função de baixo:

a) $f(f(f(n))) = \dfrac{f(f(n))}{2} = \dfrac{\dfrac{n+3}{2}}{2} = \dfrac{n+3}{4}$

$f(f(f(n))) = n$

$\dfrac{n+3}{4} = n$

$n + 3 = 4 \cdot n$

$4 \cdot n - n = 3$

$3 \cdot n = 3$

$n = \dfrac{3}{3}$

$\boxed{n_1 = 1}$

No segundo caso (resultado ímpar), usaremos a função de cima:

b)$f(f(f(n))) = f(f(n)) + 3 = \dfrac{n+3}{2} + 3$

$f(f(f(n))) = n$

$\dfrac{n+3}{2} + 3 = n$

$\dfrac{n+3}{2} = n - 3$

$n + 3 = 2 \cdot (n - 3)$

$n + 3 = 2 \cdot n - 6$

$2 \cdot n - n = 6 + 3$

$\boxed{n_2 = 9}$

Ok, mas note que 9 é um número pertencente ao caso a) e não ao caso b). Então as chances disso ocorrer são nulas, e essa solução é descartada!

Ok, ok, mas isso foi apenas considerando que o n inicialmente era ímpar. Mas e agora, se for par? Nesse caso, usaremos a função de baixo:

$f(n) = \dfrac{n}{2}\text{, n par}$

Mas assim:

c) se n = 2, 6, 10, 14, 18..., o resultado disso será ímpar.

d) Caso n = 0, 4, 8, 12, 16, o resultado será par.

Então, para c):

$f(f(n)) = \dfrac{n}{2} + 3$

E como o resultado de $\dfrac{n}{2}$ é ímpar, a soma de dois números ímpares é par. Por conseguinte:

$f(f(f(n))) = \dfrac{\dfrac{n}{2} + 3}{2}$

Assim sendo:

$f(f(f(n))) = n$

$\dfrac{\dfrac{n}{2} + 3}{2} = n$

$\dfrac{n}{2} + 3 = 2 \cdot n$

$2 \cdot n - \dfrac{n}{2} = 3$

$\dfrac{3 \cdot n}{2} = 3$

$\boxed{n_3 = 2}$

Finalmente, para o caso d):

$f(f(n)) = \dfrac{\dfrac{n}{2}}{2} = \dfrac{n}{4}$

E como nessa condição, n = 4, 8, 12, 16, 20..., o resultado pode ser tanto par quanto ímpar:

I) Se n = 4, 12, 20..., o resultado é ímpar, e:

$f(f(f(n))) = \dfrac{n}{4} + 3$

$f(f(f(n))) = n$

$\dfrac{n}{4} + 3 = n$

$n - \dfrac{n}{4} = 3$

$\dfrac{3 \cdot n}{4} = 3$

$\boxed{n_4 = 4}$

II) Se n = 8, 16, 24,... o resultado é par, e:

$f(f(f(n))) = \dfrac{\dfrac{n}{4}}{2} = \dfrac{n}{8}$

$f(f(f(n))) = n$

$\dfrac{n}{8} = n$

Isso só suporta uma única solução:

$\boxed{n_5 = 0}$

Então no final chegamos a 5 soluções, mas $n_2$ foi descartada. Logo, apenas 4 soluções são válidas!

Alternativa B