Question

Gauss, grande matemático, descobriu como fazer o cálculo rápido dos elementos de uma sequência numérica. Certa vez, ao ser desafiado por um professor, ele precisou somar os cem primeiros números naturais positivos e, para surpresa do professor, ele realizou esta soma corretamente e com uma rapidez impressionante. O resultado encontrado por Gauss foi igual a?

Answer 1

A sequencia dos números naturais podem ser representados por uma P.A.(Progressão aritmética), de razão 1. onde o primeiro termo a1=0, e o último termo an=99. Com isso é possível usar a fórmula da soma de PA para achar o valor:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\ S_n=\frac{(0+99)100}{2}\\ S_n=\frac{9900}{2}\\ S_n=4950$

Alguns professores não considerariam o 0 como valor natural nessa questão, nesse caso o cálculo é o mesmo, mudando apenas o a1=1 e an=100:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\ S_n=\frac{(1+100)100}{2}\\ S_n=\frac{10100}{2}\\ S_n=5050$

Escolha o cálculo que melhor se encaixa para você e avalie caso tenha ajudado!! :)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Pela imagem anterior, podemos ver que cada número irá se associar a outro que está em posição oposta a si, e a soma de ambos será sempre 101. Repetindo esse processo, chegará o momento em que somaremos os números centrais da sequência e encontraremos que 50 + 51 = 101.

Assim sendo, em vez de somarmos os cem números da sequência, somaremos os resultados obtidos, ou seja:

101 + 101 + 101 + … + 101

|_______________________|

50 vezes

Mas podemos realizar esse cálculo mais rapidamente se fizermos 50 x 101 = 5050. Portanto, através dessa ideia, Gauss conseguiu calcular rapidamente a soma de todos os números entre 1 e 100, obtendo o resultado de 5050.