Question

Galerinha, quem puder me ajudar com a resposta! ;)
1. Um ônibus de 50 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 30,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$2,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dada pela função f(x) = (50 – x)(30 – x), onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤x ≤50. 
 a)  quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo?
b) qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem?

Answer 1

Bom, essa função está errada mesmo...

O certo seria:

f(x) = 1500 (para x =0)
f(x) = 0 (para x = 50) "se ninguém viajar não tem $$$"
f(x) = (50 - x) * (30 + 2x) (para 0<x<50)

Resolvendo essa multiplicação fica:

f(x) = 1500 +100x - 30x - 2x^2
f(x) = -2x^2 +70x +1500

A) Como queremos um ponto de máximo dessa função,
vou utilizar o "método da 1° derivada" para encontrar um ponto crítico dessa função.

f '(x) = -4x +70 (primeira derivada de f(x) )

igualando a 0 temos

f '(x) = -4x +70 = 0
-4x = -70
x = -70/-4
x =₊⁻ 17,5

Como o número de passageiros não pode ser negativo e, não existe 0,5 passageiro, vamos usar x = 17 e x = 18
Usando esse valor em f(x) temos:

f(18) = -2*(18^2) + (70*18) + 1500
f(18) = 2112

f(17) = -2*(17^2) + (70*17) + 1500
f(17) = 2112

Vamos verificar a redondeza desse número...
f(19) = -2*(19^2) + (70*19) + 1500
f(19) = 2108

f(16) = -2*(16^2) + (70*16) + 1500
f(16) = 2108

Portanto, pra ter o máximo de faturamento, devemos ter 17 ou 18 lugares vagos

O faturamento máximo é de R$ 2.112,00

:)