Question

Galera preciso de ajuda em P.A. pra um trabalho.. É URGENTE! Ficarei grato se alguém puder me ajudar!! Obrigada :)

* Um triangulo retângulo tem perímetro 96cm e área 384cm². Quais são as medidas dos lados desse triângulo sabendo que eles formam uma P.A.

Bom, estou precisando muito da resposta agora, mas ficarei feliz se você puder me passar alguma vídeo aula que ache que vale a pena e tals.. Muito Obrigada :)

Answer 1

Temos um triângulo retângulo, com catetos medindo $a$ e $b$ e hipotenusa medindo $c$   (todas as medidas estão em centímetros).


A partir do perímetro deste triângulo, temos

$a+b+c=96\\ \\ c=96-a-b$


Pela área deste triângulo, temos que

$\dfrac{ab}{2}=384\\ \\ ab=2 \cdot 384\\ \\ ab=768\\ \\ b=\dfrac{768}{a}$


Como os lados formam uma P.A. $\left(a,\,b,\,c \right )$, então, a diferença entre dois termos consecutivos desta sequência deve ser constante. Então

$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\\ \\ b-a=c-b\\ \\ b-a=\left(96-a-b \right )-b\\ \\ b-a=96-a-2b\\ \\ \left(\dfrac{768}{a} \right )-a=96-a-2\left(\dfrac{768}{a} \right ) \rightarrow \boxed{\text{multiplicando os dois lados por }a}\\ \\ 768-a^{2}=96a-a^{2}-2\cdot 768\\ \\ 96a=768+2\cdot 768\\ \\ 96a=3 \cdot 768\\ \\ a=\dfrac{3 \cdot 768}{96}\\ \\ \boxed{a=24}\\ \\ \\ b=\dfrac{768}{24}\\ \\ \boxed{b=32}\\ \\ \\ c=96-a-b\\ \\ c=96-24-32\\ \\ \boxed{c=40}$


As medidas dos lados são

$\left(24,\,32,\,40 \right )$