Question

Galera pergunta está na imagem,responder a sério.​

Answer 1

∴ Não irei caprichar na notação então... e não irei demonstrar propriedades também.

1) Propriedades de paralelogramos:

a) Lados não adjacentes possuem mesma medida.

b) Ângulos opostos são congruentes (leia-se mesma medida).

c) Diagonais dividem um ângulo em valores dois valores idênticos (ou seja divide por o ângulo por dois).

2) Conclusões:

a) AD = BC (lados).

b) Ângulo ADB congruente ao ângulo CBD (representados pela letra c em vermelho no anexo).

3) Análise o triângulo AGD (verde) e triângulo BGE (roxo):

a) O ângulo AGD e o ângulo BGE são ângulos opostos pelo vértice. Com isso, declaramos que eles são congruentes (representados pela letra a em amarelo no anexo 1).

b) O ângulo c nesses triângulos já foi explicado anteriormente, então podemos afirmar se dois triângulos possuem dois ângulos iguais o terceiro é de mesmo valor para ambos (representado pela letra b em azul) (essa afirmação que eu fiz aqui é facilmente provada pela soma dos ângulos internos de um triângulo então omiti ela).

4) Aplique semelhança de triângulos nos triângulos AGD (verde) e BGE (roxo):

a)

     $\frac{AD}{BE}\ =\ \frac{6}{4} \\\\ BE\ =\ \frac{2}{3}\ . AD$

5) O lado BC é a soma de BE e EC (leia-se BC = BE + EC). Aplicando a propriedade 1) a) podemos afirmar que BC = AD = BE + EC (leia-se AD = BE + EC). Agora iremos escrever EC em função de AD utilizando o resultado obtido em 4) a)

$\left \{ {{AD\ =\ BE\ +\ EC } \atop {BE\ =\ \frac{2}{3}\ .\ AD }} \right. \\\\\\AD\ =\ \frac{2}{3}\ .\ AD\ + EC\\\\ EC\ =\ \frac{1}{3}\ .\ AD$

6) Analisando o triângulo EFC (laranja) e BGE (roxo):

a)  O ângulo CEF e BGE são opostos pelo vértices. Logo, são congruentes (CEF representado por b em azul)

b) O ângulo BCF e o CBD são ângulos congruentes (pois eles são alternos interno?) (o ângulo BCF representado por c em vermelho)

c) Dado que sabemos 2 ângulos o terceiro pode ser inferido facilmente. Então EFC é congruente BGE (e será representado por a em amarelo).

7) Aplicando semelhança de triângulos nos triângulos BGE (roxo) e EFC (laranja).

$\frac{BE}{EC}\ =\ \frac{GE}{EF} \\\\\\BE\ . \ EF\ =\ EC\ .\ GE$

*Multipliquei as frações só para tirar da forma fracionária e facilitar a visualização para a próxima etapa.

a) Agora iremos substituis os valores GE = 4 (que foi dado no enunciado) e os valores de BE (encontrado em 4) a) e o valor de EC (encontrando em 5) ).

$BE\ .\ EF\ =\ EC\ .\ GE\\\\ (\ \frac{2}{3}\ .\ AD\ )\ .\ EF\ =\ (\ \frac{1}{3}\ .\ AD\ )\ .\ 4\\\\ EF\ =\ 2$

O valor de EF sera 2.