Question

Galera, necessito de ajuda com essa atividade!

Answer 1

✅ É um modelo quadrático dado pela expressão abaixo

 

☁️ Ponto estacionário da parábola: Seja uma função do segundo grau do tipo $\rm f(x)=ax^2+bx+c$, com $\rm a\neq0$. Então, o ponto onde a imagem da função quadrática verifica a condição de máximo ou mínimo, isto é, o ponto que refere-se ao vértice da parábola, possui coordenadas dadas por:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(x_v, y_v) = \left( -\dfrac{b}{2a}\,,-\dfrac{\Delta}{4a} \right) \qquad}}}$

ℹ️ Em que $\rm\Delta = b^2-4ac$ é o discriminante.

 

✍️ Solução: Sabendo que a parábola corta o eixo y no ponto onde x = 0, ou seja, em Q(0, -8), logo em y = c = -8, e ainda que as coordenadas do vértice é o ponto P(³/₂; 1), podemos por fim montar um sistema não linear para encontrar os coeficientes que restam.

❐ Para a abscissa do vértice:

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{3}{2} = -\dfrac{b}{2a} \Rightarrow -b = 3a \end{array}$

❐ Para a ordenada do vértice:

$\large\begin{array}{lr}\rm 1 = -\dfrac{b^2-4a\cdot(-8)}{4a} \Rightarrow -b^2 = 32a + 4a\Rightarrow -b^2 = 36a \\\\\rm \\\\\rm \\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:}}}\end{array}$

❐ Podemos montar o sistema a seguir, uma vez que os coeficientes devem ser iguais pois a função é única no exercício

$\large\begin{array}{lr}\rm \large \begin{cases} \rm -b = 3a \\\rm -b^2 = 36a \end{cases} \qquad \begin{array}{c}\rm (i)\\\rm(ii)\end{array} \\\\\rm (ii) \to -(-3a)^2 - 36a = 0 \Rightarrow a(-9a-36) = 0 \Rightarrow a \neq 0~ \lor~ a = -4 \\\\\rm (i) \to -b = 3(-4) \Rightarrow b = 12 \end{array}$

❐ Sabendo que a = -4, b = 12 e c = -8, podemos montar a função. Note que os valores são condizentes com a posição da parábola no gráfico.

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:f(x) = -4x^2 +12x - 8}}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre função do segundo grau:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$