Galera linda da matemática ajudem!
Suponha que uma caixa d'água (sem tampa) deva ter formato de um paralelepípedo reto de base retangular, tem altura igual a largura e que a soma das áreas de suas paredes (incluindo o fundo) seja 6m², determine:
a) A expressão que determina a área citada no enunciado.
b)A expressão do volume em função de x.
c) As dimensões da caixa para que o volume seja máximo.
Preciso realizar os cálculos utilizando cálculo diferencial e Integral.
Soluções para a tarefa
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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Sejam x uma base e a altura e a a outra base.
A = 2x² + 2ax + ax
A = 2x² + 3ax
Mas A = 6
2x² + 3ax = 6
3ax = 6 - 2x²
3ax = 3(2 - x²)
ax = 2 - x²
a = (2 - x²)/x
a) A(x) = 2x² + 3x.(2 - x²)/x .
A(x) = 2x² + 6 - 3x²
A(x) = 6 - x²
b) V = Ab . h
V(x) = x . a . x
V(x) = x . (2 - x²)/x . x
V(x) = x(2 - x²)
V (x) = 2x - x³
c) Derivando
V'(x) = 2 - 3x²
O volume é máximo quando a derivada for nula.
2 - 3x² = 0
3x² = 2
x² =2/3
x = √2 / √3
x = (√2 . √3_/(√3 . √3)
x = √6/3
Como a = (2- x²)/x
a = [2 - (√6/3)²]/x
a = (2 - 6/9)/√6/3
a = (2 - 2/3) . 3/√6
a = 3(4/3)/ √6
a = 4/√6
a = 4√6/√6 . √6
a = 4√6/6
a = 2√6 / 3
As dimensões são: √6/3 , √6/3 e 2√6/3
Anexos:
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