Question

Gabarito letra a)! Alguém pode explicar?

Answer 1

Temos que encontrar a altura que a pipa está em relação ao solo. O problema deixa claro, no desenho, que a distância da "mão" do menino para o solo é de 1 metro. O que calcularemos é o valor de "h", indicado no desenho em anexo, e depois somaremos esse "1 metro".

Ao traçarmos a altura (ceviana que forma 90 graus, ou seja, é perpendicular ao lado oposto) "h", dividimos o lado do triângulo de 20 m em duas partes, que chamamos de "x" e "y". Temos que agora encontrar as relações entre essas quantidades tentando encontrar o valor de "h".

Esse exercício pode ser feito de várias formas e a que eu vou apresentar foi que a usei para resolvê-lo. Vamos começar! 

Do triângulo retângulo ABD, aplicando Pitágoras, temos:

$20^2 = h^2 + y^2$  (#)

E do segmento AC podemos afirmar que: $x + y = 20$

Vemos que precisamos de mais uma informação (equação), pois estamos com 3 incógnitas. A última equação tiraremos do triângulo BCD, através do ângulo de 75º. Note que o lado de 20 m (base do triângulo maior) é paralelo ao solo, então posso "arrastar o ângulo de 75º", que está do lado de fora do triângulo, para dentro, pois são ângulos correspondentes e, portanto, iguais.

Mas a pergunta que fica é: quanto vale a tangente de 75º?

Temos que encontrar e sem ajuda de calculadora. Lembrando que a tangente pode ser definida pelo seno e cosseno com a forma:

$tg \alpha = \frac{sen \alpha}{cos \alpha} \rightarrow tg75^{o} = \frac{sen 75^{o}}{cos 75^{o}}$

Agora precisamos do seno e do cosseno de 75º, que não é um ângulo notável. Porém, podemos pensar que 75º = 30º + 45º, então a situação se modificaria para:

$tg 75^{o} = \frac{sen 75^{o}}{cos 75^{o}} = \frac{sen (30^{o} + 45^{o})}{cos (30^{o} + 45^{o})}$

Sabendo que:

$sen (a + b) = sen (a).cos (b) + sen (b) . cos (a)$

E que

$cos (a + b) = cos(a) . cos(b) - sen(a) . sen(b)$

Podemos escrever o seno e o cosseno de 75º assim:

$sen (30^{o} + 45^{o}) = sen(30^{o}) . cos(45^{o}) + sen (45^{o}) . cos (30^{o})$

$cos(30^{o} + 45^{o}) = cos(30^{o}) . cos(45^{o}) - sen(30^{o}) . sen(45^{o})$

Juntando tudo na expressão da tangente, fica:

$tg (30^{o} + 45^{o}) = \frac{sen(30^{o}) . cos(45^{o}) + sen (45^{o}) . cos (30^{o})}{cos(30^{o}) . cos(45^{o}) - sen (45^{o}) . sen (30^{o})}$

Como $sen(45^{o}) = cos (45^{o}) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ / \ sen(30^{o}) = \frac{1}{2} \ / \ cos (30^{o}) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Ficaremos:

$tg (30^{o} + 45^{o}) = \frac{ \frac{1}{2} . \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} . \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} . \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} . \frac{1}{2} }$

Racionalizando o denominador, temos:

$tg 75^{o} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2 + 6 + 2 \sqrt{12} }{6-2} = \frac{8 + 4 \sqrt{3} }{4} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4} = 2 + \sqrt{3}$

Mas, $tg 75^{0} = \frac{h}{x} \rightarrow h = (2 + \sqrt{3})x$

Substituindo o valor acima na equação (#), sabendo que $y = 20 - x$, temos:

$20^2 = (2+ \sqrt{3})^2 x^2 + (20 - x)^2 \rightarrow$

$20^2 = (4 + 4 \sqrt{3} + 3) x^2 + 20^2 - 40x + x^2$

$0 = (7+4 \sqrt{3})x^2 + x^2 - 40x \rightarrow 0 = (8 + 4 \sqrt{3})x^2 - 40 x$

Logo, desprezando uma das raízes (x = 0) temos:

$(8 + 4 \sqrt{3}) x - 40 = 0 \rightarrow x = \frac{40}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Racionalizando novamente:

$x = \frac{40}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} = \frac{40(8 - 4 \sqrt{3}) }{64 - 48} \rightarrow x = 5 (4 - 2 \sqrt{3})$

Para encontrar o valor da altura "h", precisamos substituir o valor de x em:

$h = (2 + \sqrt{3})x \rightarrow h = (2 + \sqrt{3}).5.(4 - 2 \sqrt{3} )$

Logo, a altura "h" é:

$h = (2 + \sqrt{3}).5.(4 - 2 \sqrt{3} ) = 5 (8 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6) \rightarrow h = 10$

Se $h = 10$, para encontrar a altura, basta somarmos "1 metro" que foi explicado no início do desenvolvimento da questão (vide figura):

$Altura = h + 1 = 11 \ metros$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!