Question

Gabarito: alternativa b.
Alguém pode me explicar por que a aceleração centrípeta do corpo 2 (m2) é maior que a do corpo 1 (m1)? Se eu usar a fórmula da aceleração centrípeta em função da velocidade tangencial (Ac = V^2 / R), o resultado não deveria ser igual ao da fórmula em função da velocidade angular (Ac = w^2*R)? Interpretei errado ou errei o cálculo?

Answer 1

Uma vez que a velocidade angular $\omega$ é constante, a velocidade tangencial do corpo à distância $r$ do prego é dada por:

$v_t = \omega r.$

Temos que o corpo de massa $m_2$ se encontra a uma distância maior ($r_2 = \ell_1+\ell_2$) do que o corpo de massa $m_1$ ($r_1 = \ell_1$). Assim, multiplicando ambos os lados da desigualdade pela velocidade angular, vem:

$r_2 > r_1 \implies \omega r_2 > \omega r_1 \implies v_{t2} > v_{t1},$

pelo que isto já bastava para determinar que a hipótese correta é a b).

Relativamente às acelerações centrípetas, se utilizar a fórmula em termos da velocidade tangencial, a conclusão não é óbvia. De facto, dividindo as duas acelerações, tem-se:

$\dfrac{a_{c1}}{a_{c2}} = \dfrac{v_{t1}^2/r_1}{v_{t2}^2/r_2} = \left(\dfrac{v_{t1}}{v_{t2}}\right)^2 \dfrac{r_2}{r_1}.$

Note agora que:

$\dfrac{v_{t1}}{v_{t2}} < 1 \implies \left(\dfrac{v_{t1}}{v_{t2}} \right)^2 < 1,$

enquanto:

$\dfrac{r_2}{r_1} > 1,$

pelo que não é imediato saber se a razão entre as acelerações é maior ou menor do que 1. Para tal, substituímos $v_{t1} = \omega r_1$ e $v_{t2} = \omega r_2$, donde se obtém a fórmula em termos da velocidade angular, que é igual para os dois corpos:

$a_c = \omega^2 r.$

Neste caso, e do mesmo modo que antes, multiplicamos ambos os lados por $\omega^2$, obtendo então:

$r_2 > r_1 \implies \omega^2 r_2 > \omega^2 r_1 \implies a_{c2} > a_{c1}.$

Em suma, ao utilizar a fórmula em termos da velocidade tangencial podemos ser induzidos em erro e pensar que, como $r$ figura em denominador, a aceleração e a distância são inversamente proporcionais. Contudo, também o numerador é uma função da distância, visto que a velocidade tangencial também depende de $r$. E, se de facto substituirmos $v_t = \omega r$, verificamos então que $a_c = \omega^2 r$ é na verdade diretamente proprocional à distância $r$, visto que a velocidade angular $\omega$ é uma constante. O resultado obtido é independente da fórmula, como tem de ser.