Question

. (G1 - ifal 2017) No Laboratório de Química do IFAL,
após várias medidas, um estudante concluiu que a
concentração de certa substância em uma amostra
variava em função do tempo, medido em horas,
segundo a função quadrática
f(t) 5t-t^2 .
Determine
em que momento, após iniciadas as medidas, a
concentração dessa substância foi máxima nessa
amostra.
a)
1
hora.
b)
1,5
hora.
c)
2
horas.
d)
2,5
horas.
e)
3
horas.

Answer 1

RESPOSTA : D

A concentração varia de acordo com o tempo, portando t seria o X da função. Como ele quer saber o tempo (X) para a concentração máxima (Yv), temos que encontrar o Xv:
Xv = -t^2 + 5t = 0
   t( -t+5) =0
t= 0 ou t= 5
Logo Xv vai ser a média aritmética desses zeros da função:
(5+0) dividido por 2 = 2,5 horas

Answer 2

A substância alcança concentração máxima em 2,5 horas (2 horas e 30 minutos).

Função Quadrática

Como sabemos o gráfico de uma função quadrática ou função polinomial de grau 2 é uma curva denominada parábola e esta pode ter duas possibilidades para as coordenadas de seu vértice, isto é, o vértice possui máximo ($a < 0$) e mínimo, quando ($a > 0$). E como esta curva possui um eixo de simetria determinado exatamente por $x_v$ (abscissa do vértice).

Temos pelo menos três formas distintas de obter as coordenadas de $x_v$ para uma função quadrática da forma $f(x)=ax^2+bx+c$.

• 1º Método:

Como o gráfico de uma parábola tem eixo de simetria e se tivermos dois pontos A e B equidistantes desse eixo podemos determinar a coordenada $x_v$ da seguinte forma:

$x_v=\dfrac{x_A+x_B}{2}$

As raízes $x'$ e $x''$ da função quadrática (caso sejam reais) também são equidistantes do eixo de simetria.

$x_v=\dfrac{x'+x''}{2}$

• 2º Método:

Pela derivada primeira da função quadrática, pois a derivada representa geometricamente o coeficiente angular da reta tangente a curva em um determinado ponto. Neste caso do ponto máximo ou mínimo este coeficiente angular é nulo logo:

$y=ax^2+bx+c\Rightarrow y'=2ax+b$

Igualando a zero obtemos:

$2ax+b=0\\\\2ax=-b\\\\x_v=-\dfrac{b}{2a}$

• 3º Método:

Pela fórmula obtida no 2º método.

$V=(x_v,y_v)\Rightarrow V=\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a\right)}$

Para determinar qual será o valor máximo ou mínimo $y_v$ basta substituir o valor de $x_v$ na função.

Na nossa questão temos a seguinte função:

$f(t)=5t-t^2$

Cuja concentração máxima ocorre em:

$t_v=-\dfrac{b}{2a}\\\\t_v=-\dfrac{5}{2\cdot (-1)}\\\\t_v=2,5 \ horas$

Para saber mais sobre Função Quadrática acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/45411352

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