(G1 - ifal 2017) Determine o valor de k na equação x2 – 12x + k = 0, de modo que uma raiz seja o dobro da outra:
Soluções para a tarefa
Se uma raiz deve ser o dobro da outra e pela regra da soma e do produto 12x é a soma das duas raízes, só precisamos encontrar quais os números que somando dão 12 e são o dobro um do outro.
temos que:
4 + 8 = 12
logo; x²-12x+k = [x-4][x-8]
Aplicando produtos notáveis:
[x-4][x-8] = x² - 4x - 8x - 32
x²-12x-32
Portanto; K=32
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que uma das raízes da referida equação do segundo grau - equação quadrática - seja o dobro da outra é:
Seja a equação do segundo grau:
Cujos coeficientes são:
Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos - a partir do enunciado - que uma das raízes é o dobro da outra. Então:
Sabemos pelas relações de Girard que a soma e o produto das raízes podem ser escritas das seguintes formas:
Substituindo x' pelo seu valor temos:
Substituindo os valores dos coeficientes no último sistema, temos:
Isolando x' na equação "I", temos:
Substituindo o valor de x'' na equação "II", temos:
✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:
Então:
Portanto, o conjunto solução da referida equação é:
Confirmando a solução em termos da soma e produto, temos:
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