Question

G1 - ifal 2016) Num triângulo equilátero de lado L, constrói-se outro
triângulo equilátero nos pontos médios de seus lados. Esse processo
é feito indefinidamente, gerando infinitos outros triângulos
equiláteros. Então, podemos dizer que o limite da soma dos
perímetros desses triângulos vale:
a) 2 L. b) 4 L. c) 6 L. d) 8 L. e) 10 L.


Preciso da EXPLICAÇÃO da resposta, pois estou com muita dúvida.

Answer 1

Bom, o que eu entendi foi o seguinte: Você tem um triângulo equilátero (todos os lados iguais), e em cada ponto médio dele vai ser formado um novo triângulo (imagem). Ele pergunta o limite da soma dos perímetros, que deve ser essa:

$(L + L + L) + ( \frac{L}{2} + \frac{L}{2} + \frac{L}{2}) + (\frac{L}{4} + \frac{L}{4} + \frac{L}{4}) ...$

Fazendo:

$(L + L + L) + ( \frac{L}{2} + \frac{L}{2} + \frac{L}{2}) \\ \\ 3L + \frac{L + L + L}{2} \\ \\ 3L + \frac{3L}{2} = \frac{6L + 3L}{2} = \frac{9L}{2} = 4,5L$


De acordo com a lógica, não importa o quanto você some, você sempre irá encontrar 4,5L, o que nos dá um limite de 4L. Letra b).

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Os triangulos formados pelos pontos médios, tem como lado a metade dos lados originais

L > L/2 > L/4

Dessa forma, os perímetros seguem o mesmo sentido:

3L >>> 3L/2 >>>>> 3L/4.

Assim, notamos uma Progressão Geométrica (PG) decrescente, de razão: q = 1/2.

Ao usarmos a fórmula da soma de infinitos termos de uma PG

Sn =A1 ÷ |q - 1|

Substituindo os termos:

Sn = 3L ÷ |1/2 - 1|

Sn = 3L ÷ | - 1/2 |

Sn = 3L x 2

Sn = 6L