Question

(FVG-SP) Escreva a equação da reta que passa pelo pontk A(2,5) e que corta a reta r dada pelas suas equações paramétricas: x = t + 1 e y = t - 2, num ponto B, tal que AB = 3√2.

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Answer 1

Resposta:

y = -x + 7

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, trocaremos a equação paramétrica para uma equação reduzida:

$t = x - 1\\y = (x-1) - 2\\y = x -3$

Agora vamos pensar como traduzir para a geometria analítica a condição de distância dada AB = $3\sqrt{2}$. Temos um ponto, e uma distância, qual figura geométrica é definida por apenas esses dois elementos? Uma circunferência!

Montaremos então a equação da circunferência com centro em A e raio AB:

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = (3\sqrt{2})^2$

E antes de desenvolvê-la, como queremos o ponto de contato dessa circunferência com a reta dada no enunciado, podemos substituir $y = x -3$ diretamente na equação:

$(x - 2)^2 + ((x - 3) - 5)^2 = 18\\(x - 2)^2 + (x - 8)^2 = 18\\x^2 - 10x + 25 = 0\\(x - 5)^2 = 0\\x = 5$

O x encontrado é a abscissa do ponto B, e podemos descobrir seu y facilmente:

$y = x - 3\\y = 5 - 3\\y = 2$

Assim, a reta pedida é a reta entre o ponto A(2,5) e o ponto B(5,2), utilizando agora o clássico $y - y_0 = m(x - x_0)$

Lembrando que $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, temos:

$y - 5 = \frac{5 - 2}{2 - 5} (x - 2)$

$y - 5 = - (x - 2)\\y = -x +7$