Question

(FUVEST) Um número natural N tem 3 algarismos. Quando dele subtraídos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma dos algarismos das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)8

Answer 1

N = xyz
xyz - 396 = zyx
x + z = 8
então 
x = ?

As possibilidades para x (algarismo das centenas) são 4, 5, 6, 7, e 8.
Somando x com z (algarismo das unidades) obtemos 8, então z pode ser 4, 3, 2, 1 ou 0

Anotando as possibilidades:

404  414  424  434  444  454  464  474  484  494
503  513  523  533  543  553  563  573  583  593
602  612  622  632  642  652  662  672  682  692  
701  711  721  731  741  751  761  771  781  791 
800  810  820  830  840  850  860  870  880  890

Sabemos também que subtraindo 396, obtemos o número com algarismos em ordem inversa. Então eliminamos algumas possibilidades:

404 - 396 deveria resultar em 404 (inverso), o que é impossível.
O mesmo acontece com:

414  424  434  444  454  464  474  484  494

pois esse números, invertendo a ordem de seus algarismos, daria o mesmo. Logo, x (algarismo das centenas) não pode ser igual a 4.

Agora subtraímos o algarismo das unidades de 396 (6) de cada algarismo das unidades dos números que sobraram:

503  513  523  533  543  553  563  573  583  593
602  612  622  632  642  652  662  672  682  692  
701  711  721  731  741  751  761  771  781  791 
800  810  820  830  840  850  860  870  880  890

Unidades:
3, 2, 1, 0

  xy0          xy1         xy2         xy3
- 396        -396       -396        -396
--------      -------      -------       -------
      4             5            6              7


Notamos que o algarismo de unidade resultante será o algarismo das centenas no número invertido. Se 0 (unidade) resulta em 4 (centena), a soma dos dois não dará 8. O mesmo para 1 e 5, e 3 e 7. 

Apenas os números que terminam em 2, ao subtrair 396, resultarão em 6 no algarismo das unidades, que, invertendo o número, será o algarismo das centenas e somando com a unidade resulta em 8. 

Portanto, sobraram as possibilidades:

602  612  622  632  642  652  662  672  682  692  

Todos estes números têm como algarismo das centenas 6, portanto, x = 6.

Answer 2

• Considere:

c: algarismo da centena

d: algarismo da dezena

u: algarismo da unidade

N = (cdu)

• Observe que um número qualquer, por exemplo 652, pode ser decomposto da seguinte forma:

652 = 6×100 + 5×10 × 2

652= 600 + 50 + 2

Do enunciado temos:

• "Quando dele subtraídos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N":

100c + 10d + u − 396 = 100u + 10d + c ⟹ Reduza os termos semelhantes

100c − c + 10d − 10d − 396 = 100u − u

99c − 396 = 99u ⟹ Divida ambos os membros por 99.

c − 4 = u ⟹ Some 4 e subtraia u de ambos os membros.

c − u = 4

• "A soma dos algarismos das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8":

c + u = 8

• Resolva o sistema de duas equações e duas incógnitas:

$\large \begin{cases} \sf c-u=4 \\ \sf c+u=8 \end{cases}$  ⟹ Some as duas equações membro a membro:

2c = 12 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

c = 6

O algarismo das centenas de N é 6.

Observe que o algarismo da dezena pode ser qualquer.

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