Question

(FUVEST) Um jogo eletrônico funciona da seguinte
maneira: no início de uma série de partidas, a máquina
atribui ao jogador P pontos; em cada partida, o jogador
ganha ou perde a metade dos pontos que tem no início da
partida.
a) Se uma pessoa jogar uma série de duas partidas nas quais
ela ganha uma e perde outra, quantos pontos terá ao final?
b) Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas nas
quais ela perde duas vezes e ganha duas vezes, quantos
pontos terá ao final?
c) Se uma pessoa jogar uma série de sete partidas, qual o
menor número de vitórias que ela precisará obter para
terminar com mais que P pontos?

Answer 1

Vou montar uma pequena função para ficar mais compreensível, em que Q é a quantidade de pontos:

Q(n) = Q(n-1) + Q(n-1) / 2 ⇒ Em caso de vitória;

Q(n) = Q(n-1) - Q(n-1) / 2 ⇒ Em caso de derrota;

Q → Quantidade de pontos na n-ésima partida;
n  → N-ésima partida (n ≥ 0)...

Lembrando que a quantidade de pontos que a pessoa inicia cada partida é, na verdade, a quantidade de pontos da partida anterior !

Inicialmente, a pessoa começa com P pontos, logo :
Q(0) = P (pontos iniciais)
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a) A pessoa joga duas partidas, ganha uma e perde outra (assumindo essa ordem) :

1ª partida, vitória ⇒
Sendo n = 1 (1ª partida) e sendo vitória, tem-se :

Q(1) = Q(1-1) + Q(1-1) / 2

Q(1) = Q(0) + Q(0) / 2

Como visto, a quantidade de pontos iniciais Q(0) = P :

Q(1) = P + P / 2 ⇒ Racionalizando :

Q(1) = (2 * P + P) / 2 

Q(1) = 3 * P / 2 ⇒ Quantidade de pontos na 1ª partida !
...
2ª partida, derrota ⇒
Sendo n = 2 (2ª partida) e sendo derrota, tem-se :

Q(2) = Q(2 - 1) - Q(2 - 1) / 2

Q(2) = Q(1) - Q(1) / 2

Sendo a quantidade de pontos da primeira partida Q(1) = 3 * P / 2 :

Q(2) = 3 * P / 2 - (3 * P / 2) / 2

Q(2) = 3 * P / 2 - 3 * P / 4 ⇒ Arrumando o denominador:

Q(2) = (2 * 3 * P - 3 * P) / 4

Q(2) = (6 * P - 3 * P) / 4 

Q(2) = 3 * P / 4 ⇒ Quantidade de pontos na 2ª partida !

Logo, após essa série, ela acaba com 3 * P / 4 pontos.
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b) A pessoa joga 4 vezes, perde 2 e vence duas (assumindo essa ordem) :

1ª partida, derrota ⇒
Sendo n = 1 (1ª partida) e sendo derrota, tem-se :

Q(1) = Q(1-1) - Q(1-1) / 2

Q(1) = Q(0) - Q(0) / 2 

Sendo a quantidade inicial de pontos Q(0) = P pontos :

Q(1) = P - P / 2

Q(1) = P / 2 pontos ⇒ Quantidade de pontos na 1ª partida !
...
2ª partida, derrota ⇒
Sendo n = 2 (2ª partida) e sendo derrota, tem-se :

Q(2) = Q(2-1) - Q(2-1) / 2

Q(2) = Q(1) - Q(1) / 2

Sendo a quantidade de pontos da 1ª partida Q(1) = P / 2 pontos :

Q(2) = P / 2 - (P / 2) / 2

Q(2) = P / 2 - P / 4

Q(2) = P / 4 pontos ⇒ Quantidade de pontos na 2ª partida !
...
3ª partida, vitória ⇒
Sendo n = 3 (3ª partida) e sendo vitória :

Q(3) = Q(3-1) + Q(3-1) / 2

Q(3) = Q(2) + Q(2) / 2 

Sendo a quantidade de pontos da segunda partida Q(2) = P / 4 pontos :

Q(3) = P / 4 + (P / 4) / 2

Q(3) = P / 4 + P / 8 ⇒ Arrumando o denominador:

Q(3) = (2 * P + P) / 8

Q(3) = 3 * P / 8 pontos ⇒ Quantidade de pontos na 3ª partida !
...
4ª partida, vitória ⇒
Sendo n = 4 (4ª partida) e sendo vitória :

Q(4) = Q(4-1) + Q(4-1) / 2

Q(4) = Q(3) + Q(3) / 2

Sendo a quantidade de pontos da terceira partida Q(3) = 3 * P / 8 pontos :

Q(4) = 3 * P / 8 + (3 * P / 8) / 2

Q(4) = 3 * P / 8 + 3 * P / 16 ⇒ Arrumando o denominador:

Q(4) = (2 * 3 * P + 3 * P) /16

Q(4) = (6 * P + 3 * P) / 16

Q(4) = 9 * P / 16 pontos ⇒ Quantidade de pontos na 4ª partida !

Logo, após essa série, ela acaba com 9 * P / 16 pontos.
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c) Eu não achei nenhum método mais fácil de fazer esse último item, então terei que fazer "na mão" mesmo :

Sabemos que se ela ganhar tudo, obviamente fica acima de P. Mas como pede-se o mínimo :

Vamos começar calculando "na metade", como se a pessoa ganhasse 4 partidas e em seguida perdesse . 

Aqui eu vou ter que fazer mais "rápido", pois é apenas um teste...

Considerando vitória até a quarta partida:

Q(4) = Q(3) + Q(3) / 2
Q(3) = Q(2) + Q(2) / 2
Q(2) = Q(1) + Q(1) / 2
Q(1) = Q(0) + Q(0) / 2

(Q(0) = P pontos)

Q(4) = 81 * P /16 pontos até a quarta partida !

Agora, considerando o resto derrota :

Q(5) = Q(4) - Q(4) / 2
Q(6) = Q(5) - Q(5) / 2
Q(7) = Q(6) - Q(6) / 2

Q(7) = 81 * P / 128 pontos, que é menor do que P ! 

Vou repetir os passos, mas vou considerar que ela vença até a quinta partida :

Q(5) = Q(4) + Q(4) / 2
Q(4) = Q(3) + Q(3) / 2
Q(3) = Q(2) + Q(2) / 2
Q(2) = Q(1) + Q(1) / 2
Q(1) = Q(0) + Q(0) / 2

Q(5) = 243 * P / 32 pontos até a quinta partida !

Q(6) = Q(5) - Q(5) / 2
Q(7) = Q(6) - Q(6) / 2

Q(7) = 243 * P /128 pontos no final do jogo !

Como 243 * P /128 > P, então, ela tem que vencer no mínimo 5 partidas.