Question

Fuvest - Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona a velocidade v de propagação do som com a pressão P e a massa específica p (kg/m3), num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo v^a = C . P^b / p, onde C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes a e b são:

Answer 1

Resposta: a = 2 e b = 1

Explicação:

De acordo com a expressão fornecida pelo enunciado, temos:

v^a = C . P^b / p  

Pode se desprezar a grandeza C, pois ela é adimensional como citado no enunciado.

Passando p para o outro lado, temos:

v^a . p = P^b

Utilizando o Sistema MLT, temos:

M^0 . L^a . T^-a     (Essa expressão faz referência a grandeza velocidade, dada no SI em m/s)

M^1 . L^-3 . T^0      (Essa expressão faz referência a grandeza p, dada em kg/m^3)

M^b . L^-b . T^-2b     (Essa expressão faz referência a grandeza Pa, dada em N/m^2)

Distribuindo a equação, temos:

M^0 . L^a . T^-a . M^1 . L^-3 . T^0 = M^b . L^-b . T^-2b  

Aplicando o princípio da homogeneidade:

M: 0 + 1 = b

L: a - 3 = -b

T: -a + 0 = -2b

Logo, resolvendo o sistema, a = 2 e b = 1.

Answer 2

Resposta:

a = 2; b = 1.

Explicação:

Equação dada:

$v^a = C\,.\,\frac{P^b}{p}$

A expressão do lado esquerdo da equação deve ter a mesma dimensão da expressão do lado direito.

As unidades de $v$, $P$ e $p$, no S.I., são:

$[v] = [m/s]$

$[P] = [\frac{N}{m^2}] = [\frac{(kg\,.\,m) / s^2}{m^2}] = [\frac{kg}{m\,.\,s^2}]$

$[p] = [\frac{kg}{m^3}]$

Igualemos as dimensões de cada termo da equação:

$[(\frac{m}{s})^a] = [(\frac{[kg / (m\,.\,s^2)]^b}{kg / m^3}]$

$[\frac{m^a}{s^a}] = [\frac{kg^b/(m^b\,.\,s^{2b})}{kg/m^3}]$

$[m^a\,.\,s^{-a}] = [kg^{b-1}\,.\,m^{3-b}\,.\,s^{-2b}]$

Notemos que o expoente de [kg] na expressão à esquerda é 0, enquanto na expressão à direita é $b - 1$. Assim:

$b - 1 = 0$   ⇔   $\boxed{b = 1}$

Já o expoente de [m] vale $a$ na expressão à esquerda e $3-b$ na expressão à direita. Logo:

$a = 3-b$   ⇔   $a = 3 - 1$   ⇔   $\boxed{a = 2}$

Apenas para ratificar o resultado acima, percebamos que o expoente de [s] na expressão à esquerda vale $-a$, portanto, $-2$, e na expressão à direita vale $-2b$, também igual a $-2.$

Portanto, a equação que relaciona a velocidade $v$ de propagação do som com a pressão $P$ e a massa específica $p$, num gás, já com os devidos expoentes, é:

                                               $\boxed{v^2 = C\,.\,\frac{P}{p}}$