Question

(FUVEST)Um apostador ganhou um prêmio R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo:
a) R$ 200.000,00.
b) R$ 175.000,00.
c) R$ 150.000,00.
d) R$ 125.000,00.
e) R$ 100.000,00.COMO EU FAÇO O CÁLCULO?

Answer 1

Vamos chamar de juro acumulado $\mathsf{Jn}$ a porcentagem $\mathsf{j}$ que rende de um capital investido $\mathsf{X}$ em um certo período de tempo $\mathsf{\Delta t}$, ou, de forma mais fácil :

$\boxed{\mathsf{Jn \ = \ X \cdot j \cdot \Delta t}}$

Note que temos no caso dois juros acumulados, o da poupança $\mathsf{Jn_p}$ e o do fundo de investimentos do apostador $\mathsf{Jn_f}$.

O lucro $\mathsf{L}$ é feito acumulando-se os juros $\mathsf{Jn_p}$ e $\mathsf{Jn_f}$.

Veja que o apostador terá que dividir o capital dele de $\mathsf{R\ \ = \ 1000000,00}$ entre $\mathsf{Jn_p}$ e $\mathsf{Jn_f}$. 

Notoriamente que, sendo a taxa de rendimento maior no fundo do que na poupança, se ele investe mais na poupança, que lhe confere menos rendimento, ele acabará investindo logo onde lhe cabe mais rendimento, o fundo.

Caso contrário, se ele investe mais no fundo, é mais compensatório, pois é uma parcela maior de seu $\mathsf{R\ \ = \ 1000000,00}$ investida em uma fonte que lhe dá mais rendimento.

Logo, para o lucro mínimo $\mathsf{L_{(min)}} \ = \ R\ \ 72000,00$, ele investirá um capital $\mathsf{X_{(max)}}$ na caderneta.

Obviamente então que "o que sobra" para o fundo de investimento é $\mathsf{1000000 \ - \ X_{(max)}}$.

Sabendo que esses juros são rendidos à taxa anual e que o prazo analisado é justamente é $\mathsf{\Delta t \ = \ 1 \ ano}$, temos então que :
 
$\mathsf{L_{(min)} \ = \ Jn_p \ + \ Jn_f \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{72000 \ = \ X_{(max)}\cdot6\%\cdot1 \ + \ (1000000 \ - \ X_{(max)})\cdot7,5\%\cdot1 \ \rightarrow}}$

$\mathsf{7200000 \ = \ X_{(max)}\cdot6 \ + \ (1000000 \ - \ X_{(max)})\cdot7,5 \ \ \rightarrow}} \\ \\ \mathsf{7200000 \ = \ X_{(max)}\cdot6 \ + \ 7500000 \ - \ X_{(max)}\cdot7,5 \rightarrow}$

$\mathsf{1,5 \cdot X_{(max)} \ = \ 7500000 \ - \ 7200000 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{X_{(max)} \ = \ \dfrac{300000}{1,5} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{X_{(max)} \ = \ R\ \ 200000,00}}} \ \Longrightarrow$
Valor máximo a ser investido na caderneta de poupança!

(Logo, alternativa $\mathsf{a).}$)