Question

(FUVEST) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

Answer 1

$C_{(n,p)} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \ \Rightarrow \\ \\ \\ C_{(n,p)} \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ espa\c{c}os; \\ \text{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ desconsideradas \ por \ p!) \\ \\ \\ P_{(n)} \ = \ n! \ \Rightarrow \\ \\ P_{(n)} \ = \ Permuta\c{c}\~oes \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$

$Temos \ 4 \ empresas \ para \ 3 \ trabalhos \ \dots \ Logicamente \ que, \ para \ que \\ todas \ recebam \ trabalhos, \ uma \ delas \ receber\'a \ 2 \ trabalhos. \\ \\ Ent\~ao, \ vamos \ come\c{c}ar \ escolhendo, \ por \ combina\c{c}\~ao \ mesmo, \\ p \ = \ 1 \ empresa \ de \ n \ = \ 3 \ contratadas \ para \ receber \\ estes \ 2 \ trabalhos; \\ Al\'em \ disso, \ vamos \ nos \ atentar \ aos \ trabalhos \ recebidos \ por \\ esta \ empresa \ que \ se \ encarregar\'a \ de \ 2 \ trabalhos \ :$$\ dos \ n \ = \ 4 \ trabalhos, \ escolheremos \ p \ = \ 2 \ (combina\c{c}\~ao, \ a \ ordem \\ dos \ trabalhos \ escolhidos \ n\~ao \ importa) \ para \ esta \ empresa \ que \ far\'a \\ 2 \ trabalhos. \\ Note \ que \ sobraram \ 2 \ trabalhos \ para \ 2 \ empresas, \ certo?! \ Vamos \\ simplesmente \ permutar \ esses \ 2 \ trabalhos \ restantes \ entre \ as \\ duas \ empresas \ restantes. \\ Pronto, \ temos \ o \ seguinte \ panorama \ \Rrightarrow$

$\underbrace{\overbrace{C_{(3,1)}}^{escolha \ da \ empresa} \ \overbrace{\cdot}^{e} \ \overbrace{C_{(4,2)}}^{2 \ trabalhos}}_{para \ a \ empresa \ com \ 2 \ trabalhos} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{(2)}}_{2 \ trabalhos \ e \ empresas \ restantes} \ : \\ \\ \\ \dfrac{3!}{2! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ \dfrac{4!}{2! \ \cdot \ \not{2!}} \ \cdot \ \not{2!} \ \rightarrow \\ \\ \\ \dfrac{3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ \cdot \ \dfrac{4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ \rightarrow$

$3 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3 \ = \\ \\ \\ \boxed{\boxed{36 \ formas \ de \ escolhermos \ os \ trabalhos \ para \ as \ empresas!}}$

Answer 2

Resposta:

36 maneiras

Explicação passo-a-passo:

.

=> Temos 4 trabalhos ..e apenas 3 empresas ..e a restrição de TODAS serem contratadas

...isso implica que uma das empresas vai executar 2 trabalhos e as outras 2 vão receber apenas um trabalho cada uma

Note que:

=> Não há distinção dos trabalhos (são idênticos) ..logo a "ordem" não é importante

=> Não há distinção das empresas ..logo a "ordem" não é importante

...isto implica uma situação de Combinação Simples

assim temos

--> Para a 1ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(4,2)

--> Para a 2ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(2,1)

--> Para a 3ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(1,,1) ...dado que tem de ficar com o trabalho restante

...mas como são 3 empresas temos de saber quantos "grupos de 2" empresas podemos formar ..donde resulta C(3,2) ..note que a 3ª empresa fica sempre com o trabalho restante.

O número (N) de maneiras de distribuir os 4 trabalhos pelas 3 empresas será dado por:

N = C(3,2) . [C(4,2) . C(2,1) . C(1,1)]

N = (3!/2!(3-2)!) . [4!/2!(4-2)! . 2!/1!(2-1)! . (1)]

N = (3.2!/2!1!) . [4.3.2!/2!2! . 2!/1!1! . (1)]

N = (3) . [4.3/2! . (2) . (1)]

N = (3) . [(6) . (2) . (1)]

N = 3 . 12

N = 36 maneiras

Espero ter ajudado