(fuvest-sp) se a equação 8x³+kx²-18x+9=0 tem raízes reais a e -a , então o valor de k é?
Soluções para a tarefa
Resposta: O valor de k é - 4 (menos quatro), ou seja, k = - 4.
Explicação passo-a-passo:
A equação é dada por 8x³+ kx² - 18x + 9 = 0 e também é sabido que a e - a são suas raízes (raízes reais). Das relações de Girard, sabe-se que a soma S das três raízes x1, x2 e x3 da equação polinomial cúbica genérica ax³ + bx² + cx + d = 0 é S = - b/a, o produto P delas é P = - d/a e a soma S’ (S’ = x1x2 + x1x3 + x2x3) dos três produtos de dois fatores, onde os fatores são suas raízes, é S’ = c/a; b, c e d são complexos e a é complexo não nulo. A equação cúbica proposta tem três raízes, que chamaremos a, - a e r. Com isso, a soma S das raízes de 8x³ + kx² - 18x + 9 = 0 será:
S = a + (- a) + r = - k/8 =>
S = (a - a) + r = - k/8 =>
S = r = - k/8 =>
r = - k/8 =>
8r = 8(- k/8) =>
8r = - k =>
k = - 8r *
E o produto P será:
P = a(- a)r = - 9/8 =>
- a²r = - 9/8 =>
a²r = 9/8 =>
8a²r = 8(9/8) =>
8a²r = 9 =>
a²(8r) = 9 **
Também é sabido que:
a(- a) + ar + (- a)r = - 18/8 = - 9/4 =>
- a² + ar - ar = - 9/4 =>
- a² + 0 = - 9/4 =>
- a² = - 9/4 =>
a² = 9/4 ***
Substituindo *** em **, ficaremos com a seguinte igualdade:
(9/4)(8r) = 9 =>
9(8r/4) = 9 =>
8r/4 = 1 =>
2r = 1 =>
(- 4)2r = - 4 =>
- 8r = - 4 ****
Substituindo * em ****, temos que o valor de k será dado por:
k = - 4
Abraços!