Question

Fuvest-SP sabendo que m é um número real é que a parte imaginaria do complexo (2+i)/(m+2i) é zero, então m é:

Answer 1

$z= \frac{2+i}{m+2i} \\ \\ multiplicando \ pelo \ conjugado \\ \\ z=\frac{2+i}{m+2i}.\frac{m-2i}{m-2i}=\frac{2m-4i+mi-2(-1)}{m^2-4i^2}= \frac{2m+2-4i+mi}{m^2-4(-1)}= \\ \\ =\frac{2m+2-4i+mi}{m^2+4} =\boxed{z= \frac{2m+2}{m^2+4} + \frac{-4i+mi}{m^2+4} } \\ \\ Parte \ real: \frac{2m+2}{m^2+4} \\ \\ Parte \ imaginaria: \frac{-4i+mi}{m^2+4} } \\ \\ Como \ a \ parte \ imaginaria \ vale \ zero: \\ \\ \frac{-4i+mi}{m^2+4} }=0 \\ \\ -4i+mi=0*(m^2+4)$

$-4i+mi=0 \\ \\ mi=4i \\ \\ m= \frac{4i}{i} \\ \\ \boxed{m=4 }$

Portanto m=4 torna a part imaginária igual a zero ou seja teremos um complexo apenas com a parte real. 

Vamos provar substituindo m=4:

$z=\frac{2+i}{4+2i}. \frac{4-2i}{4-2i}= \frac{8-4i+4i-2i^2}{4^2-(2i)^2}= \frac{8-2(-1)}{16-4i^2}= \frac{8+2}{16-4(-1)}= \frac{10}{16+4} = \frac{10}{20}= \frac{1}{2}$

Espero que te ajude