Question

(FUVEST-SP) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Calcule o número de jogadores dessa fase de campeonato.

Answer 1

C(n,p) = n! / ((n-p)! * p!)

C(n,p) ⇒ Combinação de n "fatores" em "p" espaços;
"!" ⇒ Fatorial;

Propriedade dos fatoriais :  x! = x * (x - 1)!

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Seja N o número de jogadores. No jogo de xadrez, combinamos os jogadores  de 2 em 2 para formarem as partidas.
O total de combinações é o número total de partidas disputadas, porque todos jogam contra todos.

Usamos a combinação pois nesse torneio de xadrez não importa a ordem dos adversários (A vs B = B vs A), não existe "mandante" que nem no futebol, etc.

Logo, temos :

n = N (o número de "fatores" é o número de jogadores, que serão combinados em duplas de adversários);

p = 2 (Os jogadores são combinados de 2 em 2 "espaços");

C(N,2) = 78 (quantidade de jogos, como explicado)...


78 = N! / (N - 2)! * 2!      ⇒    2! = 2 * 1

78 = N! / (N - 2)! * 2

78 * 2 = N! / (N-2)!

156 = N! / (N-2)!      ⇒  Aplicando a propriedade dos fatoriais :

156 = N * (N-1) * (N-2)! / (N-2)!    ⇒  Simplificando :

156 = N * (N-1)

156 = N² - N

N² - N  - 156 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos as raízes :

13 (serve) e -12 (não serve, N > 0).

Logo, são N = 13 jogadores nesta etapa do torneio.