Question

(FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BÂC mede:

Answer 1

$Observe \ o \ anexo \ \Rightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ formas \ de \ fazer \ esse \ exerc\'icio \ da \ \bold{FUVEST} \ (pelo \ menos$ $\ eu \ pensei \ em \ duas \ formas...)$

$Forma \ pr\'atica \ \Rrightarrow \\ \\ \boxed{a_i} \ = \ \dfrac{A_c}{2}} \\ \\ \\ a_i \ \longrightarrow \ Medida \ do \ \^angulo \ inscrito \ na \ circunfer\^encia; \\ A_c \ \longrightarrow \ \^Angulo \ central \ correspondente \ \dots \\ \\ \bullet a_i \ e \ A_c \ formam \ o \ mesmo \ arco \ na \ circunfer\^encia!$

$No \ anexo \ : \\ \\ \circ \ N \ \'e \ o \ centro \ da \ circunfer\^encia; \\ \bullet \ A, \ B \ e \ C \ s\~ao \ pontos \ distintos \ da \ mesma \ \dots \\ \\ Seja \ R \ o \ raio \ da \ circunfer\^encia \ : \ NA \ = \ NB \ = \ NC \ = \ R. \\ \\ No \ \triangle \ NBC \ : \\ \\ NB \ = \ NC \ = \ R. \ Do \ enunciado, \ BC \ = \ R. \\ Logo, \ \bold{\triangle NBC \ \'e \ equil\'atero \ de \ lado \ R.} \\ \\ Sendo \ equil\'atero, \ todos \ os \ seus \ \^angulos \ medem \ 60^\circ. \ O \ B\widehat{N}C \ forma$ $\ o \ arco \ destacado \ em \ azul \ / \ roxo. \\ \\ Agora, \ observe \ o \ \triangle ABC. \ B\widehat{A}C \ tamb\'em \ forma \ o \ mesmo \ arco \ azul \\ / \ roxo \ na \ circunfer\^encia. \\ \bold{Logo, \ B\widehat{A}C \ \'e \ o \ inscrito \ correspondente \ a \ B\widehat{N}C} \ \Rrightarrow \\ \\ \\ B\widehat{A}C \ = \ \dfrac{\overbrace{B\widehat{N}C}^{60^\circ}}{2} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{B\^AC \ = \ \ 30^\circ}}$

$Forma \ convencional \ \Rightarrow \\ \\ Em \ \triangle NBC \ \longrightarrow \\ \\ Seja \ J \ a \ proje\c{c}\~ao \ ortogonal \ de \ N \ no \ lado \ BC. \ \bold{JN \ \'e \ uma \ altura} \\ \bold{do \ \triangle BNC} \ \Rightarrow \\ \\ JN \ = \ \underbrace{\dfrac{\overbrace{R}^{lado} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}_{altura \ do \ \triangle \ equil\'atero}$

$Sendo \ equil\'atero, \ JN \ finca-se \ no \ ponto \ m\'edio \ de \ BC : \\ \\ \circ \ BJ \ = \ JC \ = \ \dfrac{R}{2}$

$No \ \triangle ABC \ \Rrightarrow \\ \\ Perceba \ que \ AJ \ = \ AN \ + \ NJ \ \'e \ perpendicular \ ao \ lado \ BC. \\ \bold{Logo, \ \triangle ABC \ \'e \ is\'osceles \ de \ 'base' \ BC \ e \ altura \ relativa \ AJ.} \\ \\ Sendo \ assim, \ a \ altura \ JN \ coincide \ com \ a \ bissetriz \ do \ \^angulo \ B\widehat{A}C. \\ B\widehat{A}J \ = \ C\widehat{A}J \ = \ \dfrac{ B\widehat{A}C}{2} \\ \\ Tomando, \ por \ exemplo, \ o \ \triangle BAJ \ :$


$tg(B\widehat{A}J) \ = \ \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}J) \ = \ \dfrac{\overbrace{\frac{\not{R}}{2}}^{BJ}}{\underbrace{{\not{R}} \ +\ \frac{\not{R} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}_{AJ}} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}J) \ = \ \dfrac{\frac{1}{\not{2}}}{\frac{2 \ + \ \sqrt{3}}{\not{2}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}J) \ = \ \dfrac{1 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{\underbrace{(2 \ + \ \sqrt{3}) \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}_{prod. \ not\'avel}}}}$

$tg(B\widehat{A}J) \ = \ \dfrac{2 \ - \ \sqrt{3}}{4 \ - \ 3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{tg(B\widehat{A}J) \ = \ 2 \ - \ \sqrt{3} \ (B\widehat{A}J \ \ \textless \ 90^\circ)} \\ \\ B\widehat{A}C \ \'e \ o \ arco \ duplo \ de \ B\widehat{A}J : \\ \\ tg(2 \ \cdot \ \alpha) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ tg(\alpha)}{1 \ - \ tg^2(\alpha)} \ \'e \ a \ tangente \ do \ arco \ duplo! \\ \\ No \ caso \ : \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{1 \ - \ (2 \ - \ \sqrt{3})^2} \ \rightarrow$

$tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{1 \ - \ (4 \ - \ 4 \ \cdot \ \sqrt{3} \ + \ 3)} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{1 \ - \ 7 \ + \ 4 \ \cdot \ \sqrt{3}} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{4 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 6} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{\not{2} \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}{\not{2} \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 3)} \ \rightarrow$

$tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{(2 \ - \ \sqrt{3}) \ \cdot \ (-2 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 3)}{\underbrace{(2 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 3) \ \cdot \ (-2 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 3)}_{prod. \ not\'avel}} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{-4 \ \cdot \ \sqrt{3} \ - \ 6 \ + \ 6 \ + \ 3 \ \cdot \ \sqrt{3}}{3^2 \ - \ (2 \ \cdot \ \sqrt{3})^2} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{- \ \sqrt{3}}{9 \ - \ 12} \ \rightarrow \\ \\ \\ tg(B\widehat{A}C) \ = \ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$B\widehat{A}C \ = \ arctg\Bigg(\underbrace{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}_{valor \ not\'avel}\Bigg) \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{B\widehat{A}C \ = \ 30^\circ}} \ \bigg(\dfrac{B\widehat{A}C}{2} \ \ \textless \ \ 90^\circ\bigg)$

Answer 2

Resposta:

Ola amigos..

Explicação passo-a-passo:

O desenho ilustrado pelo amigo é fundamental para o entendimento, apenas gostaria de mostrar uma outra forma algébrica de resolver.

$\frac{a}{senA} =2r\\\\\\\frac{r}{senA}=2r\\\\\\\\1 = 2 SenA\\\\\\SenA = \frac{1}{2}\\\\\\\\\\ A=30$