Question

(FUVEST- SP-modificada) No plano cartesiano são dados os pontos A(-1, 2), B(1, 3) e C(2, -1). Determine a equação da reta que passa pelo A e é perpendicular à reta BC

A) x+2y-5=0
B) x-4y-6=0
C) 2x+3y-5=0
D) 3x+2y+5=0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x-4y+9=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Sejam os pontos $A~(-1,~2),~B~(1,~3)$ e $C~(2,~-1)$. Buscamos a equação da reta que passa pelo ponto $A$ e é perpendicular à reta $BC$.

Primeiro, devemos o coeficiente angular da reta $BC$. Seja $m$ este coeficiente angular, podemos determiná-lo a partir da fórmula:

$m_{BC}=\dfrac{y_B-y_C}{x_B-x_C}$

Substituindo as coordenadas dos pontos, temos

$m_{BC}=\dfrac{3-(-1)}{1-2}$

Some os valores

$m_{BC}=\dfrac{4}{-1}\\\\\\ m_{BC}=-4$

Então, para que a reta que passa pelo ponto $A$ seja perpendicular à reta $BC$, seu coeficiente deve ser:

$m_A=-\dfrac{1}{m_{BC}}$

Substituindo o valor que encontramos, teremos

$m_A=-\dfrac{1}{-4}$

Simplifique a fração

$m_A=\dfrac{1}{4}$

Então, utilizamos a equação do feixe de retas:

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

Substituindo as coordenadas do ponto $A$ e o coeficiente angular que encontramos teremos

$y-2=\dfrac{1}{4}\cdot(x-(-1))$

Efetue a propriedade dos sinais

$y-2=\dfrac{1}{4}\cdot(x+1)$

Multiplique ambos os lados da equação por $4$

$4y-8=x+1$

Isolando os termos, teremos a equação geral da reta:

$x-4y+9=0$

Esta é a alternativa que satisfaz estas condições.