Question

fuvest-sp)determine os números complexos z+z=4 e z×z=13 em que z e conjungado de z

Answer 1

Acredito que seja $\mathsf{z \ + \ \overline{z} \ = \ 4 \ | \ z \ \cdot \overline{z} \ = \ 13}$

Sendo $\mathsf{z \ = \ a \ + \ b \ \cdot \ i}$, $\mathsf{\overline{z} \ = \ a \ - \ b \ \cdot \ i}$ é o seu conjugado.

$\mathsf{z \ + \ \overline{z} \ = \ 4 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{a \ + \ \not{b \ \cdot \ i} \ + \ a \ \not{- \ b \ \cdot \ i} \ = \ 4 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{2 \ \cdot \ a \ = \ 4 \ \rightarrow \ \boxed{\mathsf{a \ = \ 2}}}$

$\mathsf{z \ \cdot \ \overline{z} \ = \ 13 \ \rightarrow} \\\ \\ \\ \mathsf{\underbrace{(\mathsf{a \ + \ b \ \cdot \ i) \ \cdot \ (a \ - \ b \ \cdot \ i)}}_{produto \ not\'avel} \ = \ 13 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{a^2 \ - \ b^2 \ \cdot \ \overbrace{\mathsf{i^2}}^{-1} \ = \ 13 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{a^2 \ + \ b^2 \ = \ 13 \ (a \ = \ 2) \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{4 \ + \ b^2 \ = \ 13 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{b^2 \ = \ 13 \ - \ 4 \ \rightarrow}$

$\mathsf{b^2 \ = \ 9 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{b\ = \ \pm \ \sqrt{9} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{b \ = \ \pm \ 3}}$

Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{z_1 \ = \ 2 \ + \ 3 \ \cdot \ i \ | \ z_2 \ = \ 2 \ - \ 3 \ \cdot \ i}}}$