Question

Fuvest-SP) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:

a) sen x
b) 2sen x/2
c) 2sen x
d) 2sen 2x
e) Sen 2x

Answer 1

$Seja \ f_{(x)} \ uma \ fun\c{c}\~ao \ trigonom\'etrica \ seno \ do \ tipo \ : \\ \\ f_{(x)} \ = \ a \ + \ b \ \cdot \ sen(c \ \cdot \ x \ + \ d)$

$De \ imediato, \ a \ imagem \ da \ parcela \ sen(c \ \cdot \ x \ + \ d) \ tem \ imagem \\ Im \ : \ [-1; 1]$

$Como \ f_{(x)} \ vai \ de \ -2 \ a \ 2, \ \boxed{Im\big(f_{(x)}\big) \ = \ [-2; 2]}$

$Como \ a \ imagem \ de \ f_{(x)} \ \'e \ Im \ : \ [-2,2], \ podemos \  presumir \ que \ b \ = \ 2 \ \dots Mas \ \Rrightarrow \\ \\ Antes, \ a \ dita \ f_{(x)} \ n\~ao \ est\'a \ deslocada \ para \ o \ primeiro \ quadrante, \\ nem \ mesmo \ para \ o \ quarto, \ ou \ seja, \ n\~ao \ h\'a \ deslocamento \\ vertical \ da \ senoide. \\ \\ Veja \ que, \ se \ somarmos \ qualquer \ valor \ a \ sen(c \ \cdot \ x \ + \ d) \ por \\ meio \ do \ par\^ametro \ a, \ alteramos \ a$$\ posi\c{c}\~ao \ da \ dita \ senoide \ no \ plano \ cartesiano. \ Como \ a \ mesma \\ n\~ao \ est\'a \ deslocada, \ \boxed{a \ = \ 0}.$

$Logo, \ para \ que \ f_{(x)} \ alcance \ tais \ valores, \ \boxed{b \ = \ 2} \\ \\ 2 \ \cdot \ \underbrace{[-1;1]}_{imagem \ de \ sen(c \ \cdot \ x \ + \ d)} \ = \ \underbrace{[-2;2]}_{imagem \ de \ f_{(x)}}$

$d \ provoca \ o \ deslocamento \ horizontal. \ Como \ f_{(x)} \ tem \ o \ mesmo \\ comportamento \ horizontal \ que \ sen_{(x)}, \ n\~ao \ h\'a \ deslocamento \\ horizontal \ relativo \ entre \ as \ duas, \ \boxed{d \ = \ 0}.$

$O \ per\'iodo \ T \ de \ uma \ fun\c{c}\~ao \ trigonom\'etrica \ de \ seno \ \'e \ :$

$T \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ \pi}{|c|}$

$Veja \ que, \ para \ voltar \ ao \ mesmo \ comportamento, \ f_{(x)} \ percorre \\ 4 \ \cdot \ \pi. \ Logo, \ este \ \'e \ o \ seu \ per\'iodo.$

$4 \ \cdot \ \not{\pi} \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ \not{\pi}}{|c|} \ \rightarrow \\ \\ \\ |c| \ = \ \frac{1}{2} \ \Rrightarrow \ \bold{Sabendo \ que \ d \ = \ 0} \ : \ \\ \\ \circ \ Para \ c \ \ \textgreater \ \ 0, \ a \ senoidal \ sai \ crescente \ da \ origem; \\ \\ \bullet \ Para \ c \ \ \textless \ \ 0, \ a \ senoidal \ sai \ decrescente \ da \ origem.$

$Analisando \ esta \ f_{(x)} \ que \ sai \ crescente \ da \ origem, \ \boxed{c \ = \ \frac{1}{2}}$

$Ou \ seja, \ \boxed{a, \ d \ = \ 0, \ b \ = \ 2, \ c \ = \ \frac{1}{2}} \ \Rrightarrow \\ \\ \\ \boxed{\bold{f_{(x)} \ = \ 2 \ \cdot \ sen\bigg(\frac{x}{2}\bigg)}}$