Question

(Fuvest-SP) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Gabarito: (C)
Obs.: Preciso compreender o raciocínio.
Desde já, agradeço!

Answer 1

Olá igor td bem? eu tbm tentei fazer e bom n sei se consegui mas vamo lá

o cubo da soma de dois números= (x + y)^3

soma de seus cubos(x^3 + y^3)

a diferença entre eles=

(x+y)^3 - (x^3 + y^3)__________________________
   V                                                                             V
x^3+ 3x^2y +3xy^2 + y^3                              -          x^3 - y^3

agora resolvendo

x^3+ 3x^2.y +3x.y^2 + y^3 - x^3-y^3

podemos cancelar o x^3 e o y^3 pois tem dois deles com sinais diferentes

3x^2y-3xy^2=0
3x.x.y= 3.x..y.y
cortamos o x e o y e fica assim:
3.x=3.y
portanto e agr eu pensei assim como ele não fala se o numero e igual ou diferente a logica seria somar oque esta multiplicndo

x-y-3+3

então:

x-y=6
é isso???
desculpa se n deu pra entender bem pois fui mais pelo raciocínio mas espero ter te ajudado

Answer 2

Olá! Aqui está uma tentativa de explicação didática desta questão. Lembro de ter tido problemas em entender ela no passado.

O exercício é sobre os possíveis valores que uma expressão pode adotar. Essa expressão contém duas incógnitas, que por convenção chamarei de a e b. Ambos são números inteiros (Ζ), ou seja, podem assumir os valores ...-2, -1, 0, 1, 2... — Lembre-se disso, essa informação é importante.

A expressão explicita "a diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos". Os termos destacados são produtos notáveis conhecidos:

1. Cubo da soma de dois termos: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
2. Soma dos cubos de dois termos: (a³ + b³) = (a + b).(a² + ab + b²)

Mas o segundo não será necessário para resolver esse exercício, como veremos;

A expressão é, então: (a + b)³ - (a³ + b³)

Desenvolvendo o cubo da soma e aplicando a negação da soma dos cubos, temos: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - a³ - b³

Os termos elevados ao cubo cancelam-se, como podemos ver, nos deixando com: 3a²b + 3ab²

Podemos ver que os elementos 3, a e b estão presentes em todos os termos, então podemos fatorar para ter uma visão mais direta da expressão: 3ab(a + b).

Note que, como todos os termos se multiplicam, se qualquer um dos termos a ou b for igual a zero, a expressão inteira é igual a zero. Se ambos os números forem iguais a um, teremos 3.1.1(1 + 1) = 3.2 = 6. Se qualquer um dos termos for 2 e o outro 1, teremos 3.1.2(1 + 2) = 6.3 = 18. Se os termos forem maiores, conseguiremos números maiores. Note que estamos apenas considerando os números positivos, mas eles se projetam nos negativos de mesma forma (por exemplo, se usarmos os números 1 e -2, teremos como resultado -18).

Dentre os valores que dispomos como opções (4, 5, 6, 7, 8), apenas um satisfaz a condição sob a qual a e b são números inteiros: 6, que nos dá a resposta, a opção C.

Nota adicional: eu vi em algum lugar que presumiram que a expressão poderia assumir qualquer múltiplo de três, uma presunção errônia, como podemos ver. Eu consigo entender a tentação de fazer essa afirmação ao ver o número 3 multiplicando as incógnitas na expressão final, todavia, não existe um par de números inteiros que, perante essa expressão, gere o número 3.

OBS: Perdão pela resposta longa, não economizei palavras, mas espero que possa ter feito a resolução da questão mais clara para alguém. Esse é meu primeiro post!