FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)4 é um número real?
Soluções para a tarefa
Obs: para que um número seja real, sua parte imaginária - i - precisa ser igual a zero.
Existem 3 números reais a para os quais (a + i)⁴ é um número real.
Primeiramente, vamos desenvolver o número (a + i)⁴. Perceba que: (a + i)⁴ = (a + i)².(a + i)².
Lembre-se da propriedade de potência de mesma base: repete a base e soma os expoentes.
Sendo assim, temos que:
(a + i)² = a² + 2ai + i².
Daí,
(a + i)⁴ = (a² + 2ai + i²)(a² + 2ai + i²)
(a + i)⁴ = (a² + 2ai - 1)(a² + 2ai - 1), pois i² = -1.
(a + i)⁴ = a⁴ + 2a³i - a² + 2a³i + 4a²i² - 2ai - a² - 2ai + 1
(a + i)² = a⁴ + 4a³i - 4a² - 2a² - 2ai - 2ai + 1
(a + i)² = a⁴ + 4a³i - 6a² - 4ai + 1
(a + i)² = (a⁴ - 6a² + 1) + i(4a³ - 4a)
Veja que queremos que o número (a + i)⁴ seja um número real. Para isso, a parte imaginária tem que ser igual a 0, ou seja,
4a³ - 4a = 0
4a(a² - 1) = 0
a = 0 ou a² - 1 = 0 ∴ a = 1 ou a = -1.
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