Question

(FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i^2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)^4 é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

Expliquem os calculos, por favor! 

Answer 1

$(a+i)^4\\\\ (a+i)^2]^2\\\\ (a^2+2ai-1)^2\\\\ (a^2+2ai-1)(a^2+2ai-1)\\\\\ a^4+2a^3i-a^2+2a^3i-4a^2-2ai-a^2-2ai+1\\\\ a^4-6a^2+1+4a^3i-4ai\\\\ 4a^4-4a = 0\\\\ 4a(a^3-1)=0\\\\ \boxed{a=0}\\\\ a^3=1\\\\ \boxed{a=+\ ou\ -\ 1}$

Os números são 0, 1 e -1, o que dá a alternativa c).

Obs: para que um número seja real, sua parte imaginária - i - precisa ser igual a zero.