Question

(FUVEST) Se
${4}^{16} \times {5}^{25} = a \times {10}^{n}$
, com
$1\leqslant a < 10$
, então n é:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28

*Gostaria de compreender a resolução, então se puder explicá-la eu agradeceria muito :)​

Answer 1

Resposta:

d) 27

Explicação passo a passo:

$4^{16}.5^{25} =a.10^n\\\\(2^2)^{16}.5^{25} =a.(2.5)^n\\\\\frac{2^{32}.5^{25} }{(2.5)^n} =a\\\\a = \frac{2^{32}.5^{25}}{2^n.5^n} \\\\a = 2^{32-n}.5^{25-n}$

Nesse ponto, temos que recorrer às alternativas e testar os valores de n pra ver qual deles resulta em um "a" ≥ 1 e <10.

- De cara é possível ver que o valor 24 vai resultar no produto de vários fatores 2 por um 5, dando mais que 10. Então a) está errada.

- 25 também não pode, pois vai zerar o fator 5 e deixar o fator 2 com $2^7$

- Testando 26: $2^{32-26} . 5^{25-26} = 2^{6} . 5^{-1} = \frac{2^6}{5} = \frac{64}{5} = 12,8$

12,8 > 10, então ainda não é a resposta.

- Testando 27: $2^{32-27} . 5^{25-27} = 2^{5} . 5^{-2} = \frac{2^5}{5^2} = \frac{32}{25} = 1,28$

1,28 está entre 1 e 10 e portanto é a resposta.

- Por curiosidade, vamos testar o 28: $2^{32-28} . 5^{25-28} = 2^{4} . 5^{-3} = \frac{2^4}{5^3} = \frac{16}{125} = 0,128$

0,128 < 1, então realmente a resposta é 27.