(FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/4. Logo, o valor de f(1) é:
a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10
Soluções para a tarefa
f(0) = 0
0 = a*0 + b*0 +c
c = 0
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f(2) = 1
1 = 4a + 2b (I)
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O mínimo de f é calculado utilizando a fórmula de X do vértice (Xv)
Xv = -b/2a
Como x = -1/4 no vértice, então
-1/4 = -b/2a
b = 2a/4
b = a/2 (II)
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Montando o sistema com I e II
1 = 4a + 2b (I)
b = a/2 (II)
Substituindo II em I, temos
1 = 4a + 2*a/2
1 = 4a + a
1 = 5a
a = 1/5
Voltando em II
b = a/2 = 1/10
----------------------------------------
Logo f(x) é
f(x) = 1/5 x² + 1/10 x
Então
f(1) = 1/5 + 1/10 = 2/10 + 1/10 = 3/10
letra c)
Dada a função quadrática, o valor de f(1) é 3/10, alternativa C.
Equações do segundo grau
As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O vértice da parábola é o ponto que representa o valor máximo ou valor mínimo da equação e suas coordenadas são dadas por:
xv = -b/2a
yv = -∆/4a
Sabemos que o ponto mínimo tem abcissa x = -1/4, logo:
-1/4 = -b/2a
b = a/2 (I)
Também sabemos que os pontos (0, 0) e (2, 1) fazem parte da equação, logo:
a·0² + b·0² + c = 0
c = 0
a·2² + b·2 = 1
4a + 2b = 1 (II)
Substituindo o valor de b na equação II:
4a + 2·(a/2) = 1
5a = 1
a = 1/5
b = 1/10
Temos então a equação dada por:
f(x) = x²/5 + x/10
O valor de f(1) é:
f(1) = 1²/5 + 1/10
f(1) = 3/10
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