Question

(fuvest) O valor de "m" na expressão 9 . (2m)! = 2^m . m! . 1 . 3 . 5 . 7 . ... . (2m + 1) é igual a quanto?

Answer 1

Note que

$\bullet\;\;2^{m}\cdot m!=2^{m}\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot m)\\ \\ 2^{m}\cdot m!=(2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot m)\\ \\ 2^{m}\cdot m!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2m\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

(produto dos pares até $2m$)


$\bullet\;\;1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2m+1)\\ \\ =[1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2m-1)]\cdot (2m+1)\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;(2m)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot (2m-1)\cdot (2m)$


Reescrevendo a expressão acima de uma outra forma:

$(2m)!=[2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \codt (2m)]\cdot [1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2m-1)]\\ \\ (2m)!=2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2m-1)\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Dividindo membro a membro a equação $\mathbf{(iii)}$ acima com a igualdade dada no enunciado, chegamos a

$9=2m+1\\ \\ 2m=9-1\\ \\ 2m=8\\ \\ m=4$