Question

(Fuvest) No segmento AC, toma-se um ponto B de forma que AB/AC = 2 * BC / AB. Então o valor de BC/AB é ?...

Answer 1

Olá João.



Produto notável usado

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}}}$


Organizando as informações e encontrando o que pede o enunciado

AC = BC + AB


AB/AC = 2BC/AB

Substitua AC por BC + AB

AB/(BC + AB) = 2BC/AB
AB · AB = 2BC · (BC + AB)
AB² = 2BC² + 2BC · AB
AB² - 2BC · AB = 2BC²

Some BC² em ambos os lados

AB² - 2BC · AB + BC² = 2BC² + BC²
(AB - BC)² = 3BC²
√(AB - BC)² = √3BC²
AB - BC = (+/-) BC√3

Resolvendo primeiro a solução positiva 

AB - BC = BC√3
AB = BC√3 + BC
AB = BC · (√3 + 1)
1 = BC/AB · (√3 + 1)
1/(√3 + 1) = BC/AB  (i)

Solução negativa

AB - BC = -BC√3
AB = -BC√3 + BC
AB = BC · (-√3 + 1)
1 = BC/AB · (1 - √3)      ← Inverta a posição dos termos
1/(1 - √3) = BC/AB  (ii)

Precisamos checar a condição de existência dessas soluções, pois estamos trabalhando com uma grandeza que pode ser medida 'comprimento', ou seja, a razão será positiva

Na primeira solução é notável que a razão é positiva, pois não existe o operador de subtração. Já na segunda solução existe o operador negativo, e supondo que não sabemos o valor da raiz quadrada de 3, vamos recorrer a desigualdade e provar por absurdo

Considere o denominador da solução (ii) positivo, ou seja, maior que 0

1 - √3 > 0
1 > √3

Eleve os dois lados da desigualdade ao quadrado

1² > √3²
1 > 3 

Chegamos em um absurdo!

Portanto existe uma única solução

BC/AB = 1/(√3 + 1)


Dúvidas? comente.