Question

Fuvest Na figura a seguir, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A, e PQRS é um quadrado de lado 2raizde2/3. Então, a medida do lado AB é: 1,2,3,4ou5?

Answer 1

$Para \ quest\~oes \ de \ geometria, \ eu \ gosto \ de \ anexar \ uns \ esquemas. \\ Mas \ agora \ eu \ n\~ao \ estou \ com \ o \ software \ que \ uso \ para \ isso...$

$Enfim, \ o \ \Delta ABC \ \'e \ ret\^angulo \ e \ is\'osceles. \\ Logo, \ os \ \^angulos \ \widehat{B} \ e \ \widehat{C} \ s\~ao \ de \ 45 ^\circ.$

$Como \ BC \ // \ SR , \ os \ \^angulos \ \widehat{S} \ e \ \widehat{R} \ tamb\'em \ valem \ 45 ^\circ. \\ (Lembrando \ que \ retas \ paralelas \ ''conservam'' \ \^angulos).$

$Ent\~ao \ o \ \Delta ASR \ tamb\'em \ \'e \ ret\^angulo \ e \ is\'osceles. \\ Sejam \ x \ os \ seus \ lados \ (AS/AR) \ e \ L \ (lado \ do \ quad.) \ a \ hipotenusa. \\ \\ x^2 \ + \ x^2 \ = \ L^2 \\ \\ 2.x^2 \ = \ {\frac{(2.\sqrt 2)}{3}} ^2 \\ \\ 2.x^2 \ = \ \frac{8}{9} \\ \\ x^2 \ = \ \frac{4}{9} \\ \\ x \ = \ \sqrt{\frac{4}{9}}$

$x \ = \ \frac{2}{3} \ (apenas \ raiz \ positiva) \ \rightarrow \ Medidas \ de \ AS \ e \ AR!$

$Agora, \ vamos \ pegar \ o \ \Delta BPS \ (pode \ ser \ tamb\'em \ o \ \Delta \ CQR). \\ Se \ B \widehat{P} S \ \'e \ 90 ^\circ \ e \ S \widehat{B} P \ \'e \ 45 ^\circ \ (como \ j\'a \ visto), \ ent\~ao \ B \widehat{S} P \ = \ 45 ^\circ.$

$\Delta BPS \ \'e \ ret\^angulo \ e \ is\'osceles. \ Fazendo \ \Delta BPS \ \sim \ \Delta ASR : \\ \\ \frac{Lado \ (\Delta BPS)}{Hip \ (\Delta BPS)} \ = \ \frac{Lado \ (\Delta ASR)}{Hip \ (\Delta ASR)} \\ \\ \frac{PS}{BS} \ = \ \frac{AS}{SR} \\ \\ \frac{ (\frac{2.\sqrt 2}{3}) }{BS} \ = \ \frac{ (\frac{2}{3})}{(\frac{2.\sqrt 2}{3})}$

$BS \ = \ \frac{ (\frac{2. \sqrt 2}{3})^2} { \frac{2}{3} } \\ \\ BS \ = \ \frac{ \frac{8}{9} }{ \frac{2}{3} } \ \rightarrow \ Invertendo: \\ \\ BS \ = \ \frac{8}{9} \ . \ \frac{3}{2} \\ \\ BS \ = \ \frac{4}{3}$

$Por \ fim, \ AB \ = \ AS \ + \ BS \\ \\ AB \ = \ \frac{2}{3} \ + \ \frac{4}{3} \\ \\ AB \ = \ \frac{6}{3} \\ \\ AB \ = \ 2 \ \rightarrow \ Alternativa \ 'b)' !$

Answer 2

A medida do lado AB é 2.

De acordo com o enunciado, o triângulo retângulo ABC é isósceles.

Sendo assim, os segmentos AB e AC possuem a mesma medida e, consequentemente, os ângulos B e C medem 45º, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Com essa informação, podemos concluir, também, que os triângulos BPS e QCR também são retângulos isósceles.

Logo, os segmentos BP e QC são iguais a SP e RQ, respectivamente.

Consequentemente, os segmentos BP, PQ e QC possuem a mesma medida.

Portanto, a medida do lado BC é igual a 3 vezes a medida do lado do quadrado, ou seja, 3.2√2/3 = 2√2.

Vamos considerar que os lados AB e AC do triângulo são iguais a x.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

(2√2)² = x² + x²

8 = 2x²

x² = 4

x = 2.

Para mais informações sobre Teorema de Pitágoras, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18897938