Question

(Fuvest) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditado seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram deus capitais, ainda com juros de 10% ano ano. Depois de creditadas os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João ?Resposta: R$20.000,00

Answer 1

Neste exercício, conseguimos aplicar juros compostos , isso porque há o reinvestimento à mesma taxa de juros. Eu até iria fazer por juros simples (que dá também), mas decidi pelos compostos.

Lembrando que isso só é possível porque a taxa de juros não mudou de um ano para o outro !

m = c * (1 + i)^t

m→ Montante de dinheiro acumulado após a aplicação de juros;
c →  Capital inicial investido;
i  →   Taxa de juros;
t  → Tempo de aplicação.

...

Chamando os capitais inicias de João, Antônia e Maria de "J", "A" e "M".

Juntos, esses capitais iniciais somam R$ 100000,00.

100000 = J + A + M

Primeira aplicação ⇒

Vamos calcular os novos capitais de Antônia e João, sendo identificados por um apóstrofo.

Para Antônia →

 c = A (capital inicial de Antônia);
 i → 10% = 0,1;
 t = 1 ano :

A' = A * (1 + 0,1)¹

A' = A * (1,1)¹

A'= 1,1 * A

Para João →

De forma análoga, como o tempo e os juros são os mesmos, temos :

J' = 1,1 * J

Do enunciado, A' = 2 * J' + 11000

("O novo capital de Maria é 11000 mais o dobro do novo capital de João" (na primeira aplicação).

A' = 2 * J' + 11000

1,1 * A =  2 * 1,1 * J * 11000 ⇒ Simplificando por 1,1 :

A = 2 * J + 10000 →Primeira relação !

De forma análoga, após a primeira aplicação, para a Maria : M' = 1,1 *M.

...

Segunda aplicação ⇒

Os três voltaram a investir o dinheiro com os mesmos juros. Logo, podemos considerar isso como o segundo ano da aplicação desses juros compostos (t = 2).

Nesse segundo ano, vamos identificar os novos capitais com dois apóstrofos.

Calculando para Antônia ⇒

 c = A (capital inicial de Antônia);
 i → 10% = 0,1;
 t = 2 anos :     

A" = A * (1 + 0,1)²

A" = A * (1,1)²

A" = A * 1,21

A" = 1,21 * A...

Da mesma forma, sendo o mesmo tempo t = 2 anos e a mesma taxa i = 10%, temos que os novos capitais de João e Maria são, após essa segunda aplicação :

J" = 1,21 * J e M" = 1,21 * M...


Do enunciado, o novo capital de Antônia é a soma dos novos capitais de Maria e de João.

A"= J"+ M"

1,21 * A = 1,21 * J + 1,21 * M ⇒ Simplificando :

A = J + M →Segunda relação !

...

100000 = J + A + M  (I)

A = 2 * J + 10000  (II)

A =  J + M (III)

Fazendo (II) em (III) :

2 * J + 10000 = J + M

J  + 10000 =  M

Substituindo em (I), sendo M = J + 10000 e A = 2 * J + 10000 :


J + J + 10000 + 2 * J + 10000 = 100000

4 * J + 20000 = 100000

4 * J = 100000 - 20000

4 * J = 80000

J = 80000 / 4

J = R$ 20000,00 ⇒ Capital inicial de João !

Answer 2

Pode-se desconsiderar o juros? porque aplicar 10% de juros em tudo, não seria a mesma coisa por multiplicar tudo por 1 ( ou seja multiplicar ambos os lados pelo mesmo número)?