Question

(FUVEST) Geometria Plana

Uma folha de papel retangular ABCD é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, conforme a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a...

Answer 1

Já que ele dobrou a página, isto significa que AF = FG e AE = EG. Trace uma reta paralela a DC começando no ponto E e chame este novo ponto de H. Temos que GH = 2 pois GH = AE - GB = 3-1. O triângulo retângulo FGB tem hipotenusa x e um cateto 1. Usando o teorema de pitágoras, chegamos que o outro cateto é \sqrt{x^2 -1}.
(o teorema de Pitágoras é o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados catetos.)

Assim, o segmento AB tem comprimento x + \sqrt{x^2 -1}, mesmo comprimento de EH. Preste atenção ao triângulo EGH que criamos. Ele é retângulo, tem hipotenusa 3, catetos 2 e x + \sqrt{x^2 -1}. Coloque o teorema de pitágoras, vem

9 = 4 + (x + \sqrt{x^2 -1})^2 = 4 + x^2 + 2x \sqrt{x^2 -1} + x^2 -1

\implies 2x \sqrt{x^2 -1} = 6-2x^2.

Eleve os dois lados ao quadrado:

4x^2 (x^2-1) = 36 -24x^2 +4x^4;

divida tudo por 4,

x^2(x^2 -1) = x^4 - x^2 = 9 -6x^2 +x^4

que equivale a:

5x^2 = 9 e finalmente x^2 = \frac{9}{5} \implies x = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, pois x é um comprimento e portanto positivo.
Um abraço.