Matemática, perguntado por pedromarquess5413, 1 ano atrás

(FUVEST) Dois balões esféricos A e B contêm massas iguais de um mesmo gás ideal e a mesma temperatura. O raio do balão A é duas vezes maior do que o raio do balão B. Sendo pA e pB as pressões dos gases nos balões A e B, Pode-se afirmar que pA/pB é igual a:

Soluções para a tarefa

Respondido por NatalyaMoraisJn
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\bullet Para esse exercício vamos utilizar a equação de Clapeyron \Rightarrow

                   
                          \boxed{\bold{P \ . \ V = n \ . \ R \ . \ T}}


Onde: 

\circ \Rightarrow Pressão.
\circ V \Rightarrow  Volume.
\circ \Rightarrow Número de mols.
\circ R \Rightarrow Constante universal dos gases perfeita.\circ T \Rightarrow Temperatura.

\circ Como o exercício pediu a relação  \dfrac{P(a)}{P(b)} , vamos realizar algumas modificações na fórmula, afim de facilitar a resolução\Rightarrow


P \ . \ V= n \ . \ R \ . \ T\\ \\ \bold{\boxed{P= \dfrac{n \ . \ R \ . \ T}{V}}}


\circ Portanto:

P(a)= \dfrac{n(a) \ . \ R \ . \ T(a)}{V(a)} \\ \\ P(b)=\dfrac{n(b) \ . \ R \ . \ T(b)}{V(b)} \\ \\ \\ \dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{n(a) \ . \ R \ . \ T(a)}{V(a)}}{\dfrac{n(b) \ . \ R \ . \ T(b)}{V(b)}}

\bullet Note que de acordo com o enunciado as massas, as temperaturas e os gases são iguais, logo:

n(a)=n(b)
T(a)=T(b)

\circ E \bold{R} correspondendo a constante universal dos gases, também é igual para os dois.

\circ Sob esse viés:

\dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{\not n(a) \ . \ \not R \ . \ \not T(a)}{V(a)}}{\dfrac{ \not n(b) \ . \ \not R \ . \ \not T(b)}{V(b)}}

\dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{1}{V(a)}}{\dfrac{ 1}{V(b)}}

\rightarrow \boxed{\bold{\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{V(b)}{V(a)}}}

\bullet Sabe-se que os balões são esféricos, nesse sentido, para calcular seus volumes precisamos utilizar a fórmula de volume de uma esfera:

\boxed{V(esfera)= \dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ r^{3} }{3}}

\circ Substituindo na fórmula de pressão encontrada:

\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ r(a)^{3} }{3}} }}

\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ (2r(b)^{3}) }{3}} }}

\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ 8r(b)^{3} }{3}} }}

\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{32 \ . \ \pi \ . \ r(b)^{3} }{3}} }}

\dfrac{P(a)}{P(b)}=  \dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3} \ .\  \dfrac{3}{32 \ . \ \pi \ . \ r(b)^{3} }

\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{12 \ . \ \not \pi \ . \ \not {r(b)^{3}}}{96  \ . \ \not \pi \ . \ \not r(b)^{3} }


\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{12}{96}

\boxed{\boxed{\bold{\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{1}{8}}}}

Usuário anônimo: Mais uma vez, *MINHA* genial de tudo mitando e gabaritando todas as matérias s2 que orgulho da médica mais de exatas possível s2
NatalyaMoraisJn: Ownnnnnnnnnnt!!!❤❤ Muito obrigada, *MEU* amor ❤❤❤ Com quem será que eu aprendi a gostar de exatas?! haha ❤❤❤❤
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