Question

(FUVEST) Determine z = x + yi para que se tenha z² = 4i

Answer 1

Regra para raiz nos complexos
1) Chegar a forma trigonométrica
2) Tirar a raiz n-esima, dividir o argumento por n, tirar a raiz n-esima do módulo

Passemos 4i para a forma trigonometrica.
4i = modulo.(cos(arg)+i.sen(arg))
Queremos um imaginário puro, ou seja, o cosseno deve dar zero e o seno dar 1. Logo argumento é 90 graus.
Note que sen(90) dara 1 entao temos que falta multiplicar por 4, para termos 4 unidades imaginarias.
Entao, fica esta a forma trigonométrica
z2=4(cos(90)+i.sen(90))

Usamos agora a regram Tirando a raiz quadrada de z2 achamos o z que ao quadrado dara z2.
Tirar a raiz quadrada significa indice 2.
Argumento 90. Dividimos por 2, então, 45 graus.
o modulo era 4, tiramos a raiz quadrada dele, ficando 2.

Entao o número é
z = 2(cos(45)+i.sen(45))
Mas ele quer na forma algebrica, provavelmente.
$cos(45) = sen(45) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ z = 2( \frac{ \sqrt{2} }{2} + i \frac{ \sqrt{2} }{2} ) = \sqrt{2} + i \sqrt{2}$
Pronto!