Question

(FUVEST) DÊ O NUMERO DE SOLUÇÕES DA EQUACAO Senx ^4+Cosx^4 = 1 , RESOLVA NO INTERVALO 0 < X< 2pi

Answer 1

Sen⁴x+Cos⁴x=1

(sen²x)²+(cos²x)² = 1

(1-cos²x)²+(cos²x)² =1

[1²-2*cos²x +( cos²x)²]+(cos²x)²=1

1-2cos²x +2(cos²x)² = 1

-2cos²x +2(cos²x)² = 1-1

-2cos²x+2(cos²x)²=0

-cos²x + (cos²x)² = 0

cos²x( -1 + Cos²x) = 0

cos²x = 0  ou →   -1+cos²x = 0

vamos achar a soluloção para o primeiro caso:

$\\ cos^2x=0$

cosx = 0  ou  π/2 ou 3π/2


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Solução 2:

$\\ -1+cos^2x=0 \\ \\ cos^2x=1 \\ \\ cosx=1$

x = 2π 


Ma s como o exercicio quer:


X < 2pi 

Logo teremos:

S { X ∈ R | X = π/2, 3π/2, 0 e π } 

Answer 2

Vamos lá!

Primeiro passo é simplificar a equação:


$sen^4x+cos^4x=1$

$sen^4x=1-cos^4x$

Por produtos notáveis, podemos reescrever $1-cos^4x$ como $(1-cos^2x)(1+cos^2x)$:

$sen^4x=(1-cos^2x)(1+cos^2x)$

Pelo teorema fundamental da trigonometria:

$sen^2x+cos^2x=1$, temos que:$sen^2x=1-cos^2x$. Vamos substituir isso em nossa conta e ficar com:

$sen^4x=sen^2x(1+cos^2x)$

"Cortando" os $sen^2x$:

$sen^2x=1+cos^2$

Ainda usando o teorema principal da geometria, temos:

$1-cos^2x=1+cos^2x$

$1-1=cos^2x+cos^2x$

$0=2cos^2x$

Dividindo a equação por 2 e tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

$cosx=0$

Basta agora encontrar os valores entre 0 e 2π que satisfazem essa equação. Observando o circulo trigonométrico (vai em anexo) temos que:

x={0, π, 2π} (três soluções)