Question

FUVEST Adaptada) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os outros demais ângulos internos 128° cada um. O número de diagonais do polígo

Answer 1

$S_n \ = \ (n \ - \ 2) \ \cdot \ 180^\circ \ \Rightarrow$

$S_n \ \rightarrow$ Soma dos ângulos internos de um polígono convexo;

$n \ \rightarrow$ Número de vértices do mesmo.

Número de vértices $=$ Número de lados em um polígono. Sabemos que um vértice define um ângulo.

Observe que, entre  $n_1 \ = \ 2$ vértices, temos $2$ ângulos valendo $130^\circ$. Logo, esses outros "demais ângulos", de $128^\circ$, são definidos nos "vértices que sobram", ou seja, $n_2 \ = \ (n \ - \ 2)$ vértices.

A soma disso tudo, ou seja, $\underbrace{2 \ \cdot \ 130^\circ}_{n_1 \ = \ 2 \ v\'ertices} \ + \ \underbrace{(n \ - \ 2) \ \cdot \ 128^\circ}_{n_2 \ = \ (n \ - \ 2) \ v\'ertices},$ é igual à soma de todos os ângulos internos desse polígono convexo.

$2 \ \cdot \ 130^\circ \ + \ (n \ - \ 2) \ \cdot 128^\circ \ = \ \underbrace{(n \ - \ 2) \ \cdot \ 180^\circ}_{S_n} \ \rightarrow \\ \\ \\ 260^\circ \ = \ 180^\circ \ \cdot \ (n \ - \ 2) \ - \ 128^\circ \ \cdot \ (n \ - \ 2) \ \rightarrow \\ \\ \\ 260^{\not\circ} \ = \ 52^{\not\circ} \ \cdot \ (n \ - \ 2) \ \rightarrow \\ \\ \\ n \ - \ 2 \ = \ \dfrac{260}{52} \ \rightarrow \\ \\ \\ n \ = \ 2 \ + \ 5 \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{n \ = \ 7 \ v\'ertices}} \ \Rrightarrow$

Número de vértices do polígono em questão!

$C_{(n,p)} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!}$

$C_{(n,p)} \ \rightarrow$ Combinação de $n$elementos em $p$ espaços! (permutações internas desconsideradas por $p!.$)

Para formarmos segmentos de retas (como diagonais), precisamos de $2$ vértices, e sabemos que a ordem dos vértices escolhidos não nos importa ($\overline{AB} \ = \ \overline{BA}, \ etc\dots$).

Mas, para as diagonais, não contamos as ligações entre vértices adjacentes, pois tais ligações são os lados.

Logo, vamos começar fazendo todos segmentos possíveis por $\underbrace{C_{(n,2)}}_{Total \ de \ segmentos \ poss\'iveis \ com \ n \ v\'ertices}$ e vamos, desse total, retirar os  $n$ lados (número de vértices $=$ número de lados... podemos também calcular os descontados por $\dfrac{\overbrace{C_{(n,1)}}^{Escolha \ de \ 1 \ v\'ertice} \ \cdot \ \overbrace{2}^{N\'umero \ de \ v\'ertices \ adjacentes}}{\underbrace{2!}_{Desconta \ da \ permuta\c{c}\~ao \ para \ a \ escolha}}$).

Ao descontarmos do total o número de lados, teremos o número de diagonais $n_{(d)} \ \rightarrow$

$n_{(d)} \ = \ C_{(n,2)} \ - \ n$

Sabemos que $n \ = \ 7 \ \rightarrow$

$n_{(d)} \ = \ C_{(7,2)} \ - \ 7 \ \rightarrow \\ \\ \\ n_{(d)} \ = \ \dfrac{7!}{5! \ \cdot \ 2!} \ - \ 7 \ \rightarrow \\ \\ \\ n_{(d)} \ = \ \dfrac{7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ \not{5!}}{\not{5!} \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1} \ - \ 7 \ \rightarrow \\ \\ \\ n_{(d)} \ = \ 21 \ - \ 7 \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{n_{(d)} \ = \ 14}} \ \Rrightarrow$

Número de diagonais do polígono!

Answer 2

Boa noite!

Utilizamos a seguinte formula para calcular a soma dos ângulos internos de  qualquer polígono

Si=180(n-2)

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Dados entregues pelo enunciado:

→ Dois ângulos de 130°

→ Ângulos restantes iguais a 128°

→ Dos "n" ângulos deste polígono, já temos conhecimento de dois.

→ Relação; 128(n-2) → a subtração entre parentes representa a incógnita( Numero de ângulos menos dois deles que já estão sendo somados)

→ Numero de lados = numero de vértices = número de ângulos

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Si=180(n-2)

2·130+128(n-2)=180(n-2)

260+128n-256=180n-360

128n+4=180n-360

128n-180n=-360-4

-52n=-364 (-1)

52n=364

n=364/52

n=7 lados (Heptágono)

n=7 ângulos

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Dos sete ângulos que temos, dois deles são de 130°. Temos então:

n=7-2

n=5 ângulos de 128°

Com isso temos a soma dos ângulos internos igual a:

5×128 = 640°+260° = 900°

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Prova real:

Si=180(n-2)

Si=180(7-2)

Si=180·5

Si=900°

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Att;Guilherme Lima