Question

(Fuvest) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x² + y² - 2x - 4y = 20. Qual é a equação da reta s?

Answer 1

$Assumindo \ a \ forma \ da \ equa\c{c}\~ao \ da \ circunfer\^encia \ como \ sendo \ \longrightarrow \\ \\ x^2 \ + \ y^2 \ + \ \alpha \ \cdot \ x \ + \ \beta \ \cdot \ y \ + \ \gamma \ = \ 0$

$Temos \ a \ equa\c{c}\~ao \ x^2 \ + \ y^2 \ - \ 2 \ \cdot \ x \ - \ 4 \ \cdot \ y \ - \ 20 \ = \ 0$

$\alpha \ = \ -2, \ \beta \ = \ -4 \ e \ \gamma \ = \ -20$

$Coordenadas \ do \ centro : \\ \\ _xC \ = \ \frac{\alpha}{-2} \ \rightarrow \ \alpha \ = \ -2 \ \rightarrow \ _xC \ = \ \frac{-2}{-2} \ \Rightarrow \ _xC \ = \ 1 \\ \\ _yC \ = \ \frac{\beta}{-2} \ \rightarrow \ \alpha \ = \ -4 \ \rightarrow \ _yC \ = \ \frac{-4}{-2} \ \Rightarrow \ _yC \ = \ 2 \\ \\ \boxed{C \ = \ (1,2)}$

$AB \ passa \ por \ (0,0) \ e \ por \ (1,2). \ Considerando \ AB \ como \ parte\\ de \ uma \ reta, ao \ jogarmos \ em \ y \ = \ a \ \cdot \ x \ + \ b, \ vemos \\ que \ AB \ \'e \ parte \ da \ reta \ \boxed{y \ = \ 2 \ \cdot \ x}.$

$Sejam \ m_{(AB)} \ e \ m_{(s)} \ os \ coeficientes \ angulares \ da \ reta \ por \ onde \\ passa \ AB \ e \ da \ reta \ s, \ respectivamente. \\ \\ Sendo \ essas \ retas \ perpendiculares, \ temos \ \longrightarrow \\ \\ \underbrace{m_{(AB)} \ \cdot \ m_{(s)} \ = \ -1}_{Propriedade}$

$Observe \ que \ :$

$y \ = \ \underbrace{2}_{m_{(AB)}} \ \cdot \ x \ + \ \underbrace{0}_{coef. \ linear}$

$2 \ \cdot \ m_{(s)} \ = \ -1 \\ \\ m_{(s)} \ = \ \frac{-1}{2}$

$Por \ fim, \ s \ passa \ por \ (0,3). \\ \\ 3 \ = \ \not{\frac{-1}{2} \ \cdot \ 0} \ + \ n_{(s)} \\ \\ n_{(s)} \ = \ 3 \ \'e \ o \ coeficente \ linear \ de \ s.$

$Logo, \ \boxed{\boxed{s \ : \ y \ = \frac{-1}{2} \ \cdot \ x \ + \ 3}}$