Question

(Fuvest) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x²+y²-2x-4y=20. Então a equação de s é:
a)x-2y=-6
b)x+2y=6
c)x+y=3
d)y-x=3
e)2x+y=6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar qual é o centro da circunferência da sua questão, cuja equação é esta:

x² + y² - 2x - 4y = 20 ---- vamos ordenar o 1º membro para formar os quadrados. Então ficaremos assim:

x² - 2x + y² - 4y = 20 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que forem acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, teremos;

(x-1)² - 1 + (y-2)² - 4 = 20 ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro e organizando, teremos:

(x-1)² + (y-2)² - 5 = 20 ----- passando "-5" para o 2º membro, teremos:
(x-1)² + (y-2)² = 20 + 5
(x-1)² + (y-2)² = 25 --- ou, o que é a mesma coisa:
(x-1)² + (y-2)² = 5²      . (I)

Antes veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (II)

Agora vamos comparar as expressões (I) e (II) acima para vermos qual é o centro e o raio da circunferência da sua questão. Colocando uma expressão bem embaixo da outra para melhorar a comparação, teremos;

(x-1)² + (y-2)² = 5²        . (I)
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²       . (II)

Note: da comparação feita aí em cima, nota-se nitidamente que o centro e o raio da circunferência da sua questão são estes, respectivamente:

C(1; 2) e raio = 5.

ii) Agora vamos encontrar qual é o coeficiente angular (m₁) da equação da reta AB, que passa no ponto A(0; 0) e no centro da circunferência C(1; 2).
Antes veja que uma reta que passe nos pontos A(x₀; y₀) e B(x₁; y₁) tem o seu coeficiente angular (m) calculado da seguinte forma:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta AB que passa nos pontos A(0; 0) e C(1; 2) terá o seu coeficiente angular (m₁) calculado da seguinte forma:

m₁ = (2-0)/(1-0)
m₁ = 2/1
m₁ = 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta AB, ou seja, da reta que passa no ponto A(0; 0) e no centro da circunferência, cujo ponto é: C(1; 2).

iii) Agora vamos encontrar qual é a equação da reta "s" que é perpendicular à reta AB, cujo coeficiente angular é igual a "2".
Veja: quando duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares é igual a "-1". Então, chamando de m₂ o coeficiente angular da reta "s", teremos:

m₁*m₂ = -1 ---- como m₁ = 2 (que é o coeficiente angular da reta AB), então teremos:

2*m₂ = - 1
m₂ = -1/2 <--- Este é o valor do coeficiente angular da reta "s".

iv) Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), a sua equação é encontrada da seguinte forma:

y - y₀ = m*(x-x₀).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da reta "s", cujo coeficiente angular é igual a (-1/2) e que passa no ponto (0; 3) , terá a sua equação encontrada assim:

y - 3 = (-1/2)*(x - 0) --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
y - 3 = -1*(x - 0)/2 --- ou ainda apenas:
y - 3 = -1*(x)/2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y - 3) = - 1*x
2y - 6 = - x ----- passando "-x" para o 1º membro, ficaremos assim:
2y - 6 + x = 0 --- ordenando, ficaremos com:
x + 2y - 6 = 0 ----- Note que a equação da reta "s", na sua forma completa, é esta. Contudo, para ficar exatamente igual ao modo de como a equação está apresentada nas opções dadas, então vamos colocar "-6' para o 2º membro, ficando assim:

x + 2y = 6 <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.