(FUVEST) a hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta R: Y=5x-13, e e um de seus catetos está contido na reta S: Y=X-1. Se o vértice onde está o ângulo reto em um ponto da forma (k,5) sobre a reta S, determine.
A) todos os vértices do triângulo;
B) a área do triângulo;
Soluções para a tarefa
Os vértices do triângulo são (3,2), (6,5) e (4,7); A área do triângulo é 6 u.a.
a) Vamos calcular o ponto de interseção entre as retas y = 5x - 13 e y = x - 1.
Igualando as equações, obtemos:
5x - 13 = x - 1
5x - x = 13 - 1
4x = 12
x = 3.
Consequentemente, o valor de y é:
y = 3 - 1
y = 2.
Logo, o ponto de interseção entre as retas é (3,2).
O ponto (k,5) está sobre a reta s. Substituindo esse ponto na equação y = x - 1, obtemos:
5 = k - 1
k = 5 + 1
k = 6.
Então, o ponto é (6,5).
Perceba que a reta s pode ser escrita como x - y = 1.
Isso significa que a reta perpendicular à reta s é da forma x + y = c.
Substituindo o ponto (6,5) nessa equação, obtemos:
6 + 5 = c
c = 11.
Portanto, a reta perpendicular é x + y = 11.
Se y = 5x - 13, então:
x + 5x - 13 = 11
6x = 24
x = 4.
Consequentemente:
4 + y = 11
y = 7.
Assim, concluímos que os vértices do triângulo são (3,2), (6,5) e (4,7).
b) A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto dos catetos.
A distância entre os pontos (3,2) e (6,5) é:
d² = (6 - 3)² + (5 - 2)²
d² = 3² + 3²
d² = 2.3²
d = 3√2.
A distância entre os pontos (6,5) e (4,7) é igual a:
d² = (4 - 6)² + (7 - 5)²
d² = (-2)² + 2²
d² = 4 + 4
d² = 2.4
d = 2√2.
Portanto, a área do triângulo é:
S = 3√2.2√2/2
S = 6 u.a.