(FUVEST 2020) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm × 4 cm × 4 cm está inscrito tem diâmetro de:
a) 9 cm
b) 10 cm
c) 11 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
Soluções para a tarefa
Fique tranquilo, eu resolvo.
RESOLUÇÃO SEM ENROLAÇÃO
Para resolver questões de Geometria Espacial como essa, acredito que o mais indicado é começar desenhando. Sabe, quando você desenha as formas tudo torna-se mais claro.
Muitas vezes eu me deparei com enunciados parecidos e não soube o que fazer simplesmente porque não visualizei a situação que estava sendo descrita. Fica a dica.
Vamos direto ao ponto.
Há um paralelepípedo dentro de uma esfera, porém não é uma esfera qualquer, trata-se da menor esfera na qual ele cabe, o que significa que os vértices do paralelepípedo tocam as extremidades da esfera, de modo que o diâmetro da esfera coincide com a Diagonal do Paralelepípedo.
Portanto, basta calcular a medida da Diagonal do Paralelepípedo e encontraremos o diâmetro da esfera em que está inserido.
Aplicando a fórmula, em que a, b, c são as dimensões do paralelepípedo (comprimento, largura e altura), obtêm-se:
D = √a² + b² + c²
D = √7² + 4² + 4²
D = √49 + 16 + 16
D = √81
D = 9 cm
Gabarito: Alternativa a.
Se consegui sanar sua dúvida completamente, se minha resposta foi útil de verdade, por favor marque-a como a melhor.
A alternativa correta é a letra a) 9 cm.
Vamos aos dados/resoluções:
Como é uma questão sobre Geometria Espacial e como existe um paralelepípedo dentro de uma esfera então: Podemos perceber que não estamos falando sobre uma esfera qualquer e sim da menor esfera no qual o mesmo cabe, mostrando pra nós que os vértices do paralelepípedo tocam as extremidades da esfera. Com isso, vemos que o diâmetro da esfera "bate" com a Diagonal do Paralelepípedo.
Com isso então, teremos apenas que calcular a medida da Diagonal do Paralelepípedo e encontraremos o diâmetro da esfera no qual está agregado e para isso iremos aplicar a fórmula, em que a, b e c são as dimensões específicas do nosso paralelepípedo (onde seriam comprimento, largura e altura, respectivamente), teremos:
D = √a² + b² + c²
D = √7² + 4² + 4²
D = √49 + 16 + 16
D = √81
D = 9 cm
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)