Question

(Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

Answer 1

$Eu \ fiz \ um \ desenho \ bem \ fora \ de \ escala \ \dots \ rsrs, \ mas, \ sendo \ poucos \\ pontos, \ acho \ que \ d\'a \ sim \ para \ entender.$

$Observe \ o \ desenho \ fora \ de \ escala.$

$Equa\c{c}\~ao \ reduzida \ da \ circunfer\^encia \ \Rightarrow \\ \\ (x \ - \ x_C)^2 \ + \ (y \ - \ y_C)^2 \ = \ R^2 \\ \\ (x_C, \ y_C) \ \longrightarrow \ Coordenadas \ do \ centro \ da \ circunfer\^encia; \\ \\ (x,y) \ \longrightarrow \ Par \ ordenado \ \bold{contido} \ na \ circunfer\^encia; \\ \\ R \ \rightarrow \ Raio \ da \ circunfer\^encia.$

$d_{(a,b)} \ = \ \sqrt{(x_a \ - \ x_b)^2 \ + \ (y_a \ - \ y_b)^2} \ \rightarrow \\ \\ d_{(a,b)} \ \rightarrow \ Dist\^ancia \ entre \ dois \ pontos \ gen\'ericos \ a \ e \ b; \\ \\ (x_a, y_a) \ \rightarrow \ Par \ ordenado \ do \ ponto \ a; \\ \\ (x_b, y_b) \ \rightarrow \ Par \ ordenado \ do \ ponto \ b.$
$\bold{Propriedade \ de \ tangentes \ a \ circunfer\^encias \ \Rightarrow }\\ \\ 'Retas \ tangentes \ s\~ao \ perpendiculares \ (\perp) \ a \ um \ dos \ infinitos \\ segmentos \ de \ raio \ da \ circunfer\^encia'.$

$Veja \ que \ Q \ pode \ assumir \ duas \ posi\c{c}\~oes \ \dots \ Mas \ qual \ escolher? \\ \\ \bold{Neste \ caso, \ n\~ao \ importa!}$

$Veja, \ vamos \ come\c{c}ar \ pela \ equa\c{c}\~ao \ dada. \\ \\ (x \ - \ 1)^2 \ + \ (y \ - \ 2)^2 \ = \ 1 \ \rightarrow \ An\'alise \ com \ a \ equa\c{c}\~ao \ reduzida : \\ \\ \boxed{(x_C,y_C) \ = \ (1,2)} \ \Rightarrow \ Centro \ dessa \ circunfer\^encia; \\ \\ R^2 \ = \ 1 \ \rightarrow \ R \ = \ \sqrt{1} \ \rightarrow \ \boxed{R \ = \ 1} \ \Rightarrow \ Raio \ da \ mesma \ (R \ \ \textgreater \ \ 0).$

$Lembrando \ que \ designei \ o \ ponto \ C \ para \ ser \ o \ centro \ da \ dita \\ circunfer\^encia!$

$Veja \ as \ poss\'iveis \ posi\c{c}\~oes \ de \ Q \ (indicadas \ por \ Q_?).$

$Veja \ que \ Q_? \ (n\~ao \ importa \ onde) \ \'e \ constituente \ da \ circunfer\^encia. \\ \\ Logo, \ CQ_? \ = \ Raio \ = \ 1.$

$Agora, \ calculemos \ o \ segmento \ vermelho \ d_{(C,P)} \ \Rightarrow \\ \\ d_{(C,P)} \ = \ \sqrt{(x_C \ - \ x_P)^2 \ + \ (y_C \ - \ y_P)^2} \ \rightarrow \\ \\ C \ : \ (1,2) \ e \ P \ : \ (3,6) \ \longrightarrow \\ \\ d_{(C,P)} \ = \ \sqrt{(1 \ - \ 3)^2 \ + \ (2 \ - \4)^2} \ \rightarrow \\ \\ d_{(C,P)} \ = \ \sqrt{-2^2 \ + \ -4^2} \ \rightarrow \\ \\ d_{(C,P)} \ = \ \sqrt{4 \ + \ 16} \ \rightarrow$

$\boxed{d_{(C,P)} \ = \ \sqrt{20}} \ \longrightarrow \ Dist\^ancia \ entre \ os \ pontos \ C \ e \ P! \ (d_{(C,P)} \ \ \textgreater \ \ 0)$

$Agora \ est\'a \ a \ aplica\c{c}\~ao \ direta \ da \ proprieade. \\ \\ Existe \ um \ segmento \ de \ raio \ que \ \'e \ \perp \ \`as \ poss\'iveis \ tangentes.$

$Se \ tomarmos \ o \ Q_? \ superior, \ este \ segmento \ \'e \ CQ_? \ laranja. \\ Se \ tomarmos \ o \ Q_? \ inferior , \ este \ segmento \ \'e \ CQ_? \ azul.$

$Perceba \ que \ PQ_? \ pode \ ser \ tanto \ o \ segmento \ verde \ quanto \ o \ amarelo. \\ \\ E \ isso \ nem \ importa, \ pois \ de \ qualquer \ forma \ montamos \ um \\ \triangle \ ret\^angulo, \ em \ que \ os \ segmentos \ \perp \ s\~ao \ CQ_? \ = \ R \ e \\ a \ dist\^ancia \ procurada \ e \ a \ hipotenusa \ \'e \ d_{(C,P)} \ = \ CP \ = \sqrt{20}.$

$Aplicando \ qualquer \ Pit\'agoras \ \longrightarrow \\ \\ d_{(C,P)}^2 \ = \ d_{(C,Q_?)}^2 \ + \ d_{(P,Q_?)}^2 \ \rightarrow \\ \\ \sqrt{20}^2 \ = \ R^2 \ + \ d_{(P,Q_?)}^2 \ \rightarrow \\ \\ 20 \ = \ 1^2 \ + \ d_{(P,Q_?)}^2 \ \rightarrow \\ \\ d_{(P,Q_?)}^2 \ = \ 20 \ - \ 1 \ \rightarrow \\ \\ d_{(P,Q_?)}^2 \ = \ 19 \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{d_{(P,Q_?)} / \ PQ_? \ = \ \sqrt{19} \ de \ qualquer \ unidade \ de \ comprimento}} \ \Rightarrow \\ \\ \\ Dist\^ancia \ entre \ os \ pontos \ P \ e \ os \ poss\'iveis \ pontos \ Q!$
$(d_{(P,Q_?)} \ / \ PQ_? \ \ \textgreater \ \ 0)$