Question

(FUVEST 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto-retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão $\frac{b}{a}$ entre as dimensões do paralelepípedo é $\frac{3}{2}$ e o volume do cone é $\pi$. Então, o comprimento g da geratriz do cone é:

(A) $\sqrt{5}$
(B) $\sqrt{6}$
(C) $\sqrt{7}$
(D) $\sqrt{10}$
(E) $\sqrt{11}$
​

Answer 1

o comprimento g da geratriz do cone é √10

Equações

Para achar o valor do comprimento da geratriz é preciso identificar os valores de a e b da figura.

O figura do enunciado revela que a altura do cone corresponde a b e já sugere uma equação.

• b/a = 3/2

Sabe-se ainda que o volume do cone é π .

A fórmula do volume de um cone corresponde a 1/3 da área da base multiplicado pela altura. Aplicando em nossa figura, a área da base corresponde a área do círculo, ou seja, π r².  E a altura é b.

Como achar o raio? O raio é a metade do diâmetro, logo, corresponde a a/2.

Portanto, temos que o volume é 1/3 . π . a²/4 . b = π

Obtemos então a segunda equação.

• a².b = 12

Isolando b na primeira equação e aplicando-a na segunda temos que

a² . 3/2a = 12

a³ = 8

a = 2

b=3

Agora para achar a geratriz, podemos imaginar um triângulo retângulo no centro do cone e achar a hipotenusa, que corresponde ao valor da geratriz.

g² = b² + (a/2)²

g² = 3² + (2/2)²

g² = 9 + 1

g² = 10

g = √10

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#SPJ3