Question

{ FUVEST 2005} Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, espectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética  è :

a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

 

Answer 1

Ola!

Temos então que calcular a Progressão aritmetica, sabendo que são três números positivos, cuja soma é 30, ou seja:

$a+(a+r)+(a+2r)=30$

Onde:

R = razão da Progressão aritmetica, e ela vai ser:

Que isolando da P.A pode ser obtida:

$a+(a+r)+(a+2r)=30$

$a+ a+r + a+2r =30$

$3a + 3r =30$

$3r = 30 - 3a$

$r = \frac{30 - 3a}{3} \\ r = 30 - a$

Agora sabendo que somando-se, respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica.

$\frac{(a + r) - 4}{a +4} = \frac{(a +2r)-9}{(a+r) - 4}$

$\frac{a+10-a-4}{a+4}=\frac{a+20-2a-9}{a+10-a-4}$

$\frac{6}{a+4}=\frac{11-a}{6}$

$a^2-7a-8= 0$

Resolvemos aplicando a formula quadrática e obtemos:

$a = 8\\ r =2$

Assim podemos determinar que as progressões são:

- Progressão aritmetica: 8, 10, 12

- Progressão geometrica: 12, 6, 3

De tal forma que a alternativa correta é: c) 12