Question

FUVEST 2004

A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC. então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:

a.1
b.1,5
c.2
d.2,5
e.3

Answer 1

$Oii \ de \ novo, \ minha \ \bold{Natalyinha} \ querida!$

$Natalyinha, \ eu \ pe\c{c}o \ que, \ se \ poss\'ivel, \ fa\c{c}a \ os \ desenhos$
$para \ uma \ melhor \ compreens\~ao.$

$O \ volume \ da \ pir\^amide \ V_{(pir)} \ \'e : \\ \\ V_{(pir)} \ = \ \frac{Ab_{(pir)} \ \cdot \ H_{(pir)}}{3}, (\ Ab_{(pir)} \ \'e \ a \ \'area \ da \ base \ e \ H_{(pir)} \ a \ altura)$


$No \ caso, \ para \ a \ pir\^amide \ ABCDE \ \Rightarrow \\ \\ A \ base \ \'e \ ABCD, \ de \ \'area \ r \ e \ a \ altura \ tem \ medida \ h. \\ Com \ isso, \ o \ seu \ volume \ v \ = \ 4 \ fica : \\ \\ 4 \ = \ \frac{r \ \cdot \ h}{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{r \ \cdot \ h \ = \ 12} \ \checkmark \ Usaremos \ esta \ rela\c{c}\~ao \ !$

$Agora, \ para \ a \ pir\^amide \ AMCDV \ \Rightarrow \\ \\ Antes \ de \ tudo, \ como \ propusemos, a \ \'area \ de \ ABCD \ = \ r. \\ \\ O \ que \ implica \ que : \\ \\ AB \ \cdot \ BC \ = \ r \ \checkmark$

$AMCD \ \'e \ um \ trap\'ezio \ de \ bases \ \parallel \ AM \ e \ CD. \\ \\ Sendo \ M \ ponto \ m\'edio, \ AM \ \ = \ \frac{AB}{2}. \\ \\ Al\'em \ disso, \ AD \ \perp \ AM, \ CD. \ Logo, AD \ \'e \ a \ altura \ do \ trap\'ezio.$

$A \ \'area \ do \ trap\'ezio \ t \ \'e \ \longrightarrow \\ \\ t \ = \ \frac{(AM \ + \ CD) \ \cdot \ AD}{2} \ \rightarrow \\ \\ t \ = \ \frac{(\frac{AB}{2} \ + \ CD) \ \cdot \ AD}{2} \ \rightarrow \\ \\ t \ = \ \frac{(AB \ + \ 2 \ \cdot \ CD) \ \cdot \ AD}{4} \ \rightarrow CD \ = \ AB \\ \\ t \ = \ \frac{(AB \ + \ 2 \ \cdot \ AB) \ \cdot \ AD}{4} \ \rightarrow \\ \\ t \ = \ \frac{3 \ \cdot AB \ \cdot \ AD}{4} \ \rightarrow \ AB \ \cdot \ AD \ = \ r \\ \\ \boxed{t \ = \ \frac{3 \ \cdot \ r}{4}}$

$Agora, \ para \ determinar \ a \ altura, \ pe\c{c}o \ um \ pouco \ mais \ de \ f\'e \dots \\ rsrs.$

$Natalyinha, \ agora \ fa\c{c}a \ a proje\c{c}\~ao \ de \ E \ no \ plano \ de \ ABCD.$

$Chame \ esta \ proje\c{c}\~ao \ de \ E'. \\ \\ Veja \ que \ EE' \ \'e \ a \ altura \ h \ de \ ABCDE. \\ \\ Agora \ projete \ V \ no \ plano \ de \ ABCD. \ Chame \ de \ V'. \\ \\ \bold{VV' \ \'e \ a \ altura \ de \ AMCDV.} \\ \\ Desenhe \ os \ \Delta \ EE'C \ e \ VV'C. \ Eles \ \ s\~ao \ semelhantes.$

$Pela \ semelhan\c{c}a \ \longrightarrow \\ \\ \frac{EE'}{EC} \ = \ \frac{VV'}{VC} \ \rightarrow \ EE' \ = \ h \ e \ VC \ = \ \frac{EC}{2} \ (ponto \ m\'edio) \\ \\ \frac{h}{\not{EC}} \ = \ \frac{VV'}{\frac{\not{EC}}{2}} \ \rightarrow \\ \\ h \ = \ \frac{VV'}{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ \boxed{VV' \ = \ \frac{h}{2}}$

$A \ altura \ de \ AMCDV \ \'e \ a \ metade \ da \ de \ ABCDE. \\ \\ Volume \ N \ (de \ Natalyinha) \ de \ AMCDV : \\ \\ N \ = \ \frac{t \ \cdot \ VV'}{3} \ \rightarrow \\ \\ N \ = \ \frac{\frac{3 \ \cdot \ r}{4} \ \cdot \ \frac{h}{2}}{3} \ \rightarrow \\ \\ N \ = \ \frac{1}{\not{3}} \ \cdot \ \frac{\not{3} \ \cdot \ r}{4} \ \cdot \ \frac{h}{2} \ \rightarrow \\ \\ N \ = \ \frac{r \ \cdot \ h}{8} \ \rightarrow \ r \ \cdot \ h \ = \ 12 \\ \\ N \ = \ \frac{12}{8} \ \rightarrow \ \frac{3}{2} :$

$\boxed{\boxed{N \ = \ 1,5 \ unidades \ de \ volume}} \ \Rightarrow \ Volume \ de \ AMCDV !$