Question

(Fuvest 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A=(-a, 0), B=(0, b) e C=(c, 0), é igual a b, então o valor de b é:? heeelllpppp :)

Answer 1

$PA : \ a, \ b, \ c \\ \\ (Vamos \ admitir \ essa \ ordem)$

$Da \ geometria \ anal\'itica \ temos \ o \ \Delta ABC : \ A (-a, \ 0), \ B(0,b) \ e \ C(c,0).$

$Se \ fizermos \ pelo \ m\'etodo \ plano, \ vemos \ que \ uma \ base \ a \ ser \\ considerada \ \'e \ d(AC) \ = \ ( a \ + \ c) \ e \ a \ sua \ altura \ relativa \ \'e \\ d(OB) \ = \ b. \\ \\ Como \ bases \ \perp \ suas \ alturas \ relativas \ (sen(90^\circ) \ = \ 1), \ ent\~ao \\ a \ \'area \ pedida \ \'e :\\ \\ A(\Delta ABC) \ = \ \frac{d(AC) \ . \ d(OB)}{2}$

$A(\Delta ABC) \ \rightarrow \ b \ : \\ \\ b \ = \ \frac{(a \ + \ c)) \ . b}{2} \ \rightarrow \ Como \ b \ \neq \ 0 : \\ \\ 1 \ = \ \frac{(a \ + \ c)}{2} \\ \\ (a \ + \ c) \ = \ 2$

$Na \ PA \ (a,b,c), \ propriedade \ da \ m\'edia \ em \ b : \\ \\ b \ = \ \frac{(a \ + \ c)}{2} \ \rightarrow \ (a \ + \ c) \ = \ 2 \ : \\ \\ b \ = \ \frac{2}{2} \\ \\ \boxed{\boxed{b \ = \ 1}}$

$Por \ matriz \ : \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}-a&0&1\\0&b&1\\c&0&1\end{array}\right] \ \ \rightarrow \ Calculando \ o \ determinante \ : \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}-a&0&1\\0&b&1\\c&0&1\end{array}\right] \ \left[\begin{array}{cc}-a&0\\0&b\\c&0\end{array}\right] \\ \\ \\ det \ = \ (-a \ . \ b) - (c \ . \ b) \ = \\ \\ det \ = \ -b \ . \ (a \ + \ c)$

$A(\Delta ABC) \ = \ \frac{|det|}{2} \\ \\ A(\Delta ABC) \ = \ \frac{| -b \ . \ (a \ + \ c)|}{2} \\ \\ A(\Delta ABC) \ = \ \frac{b \ . \ (a \ + \ c)}{2} \ \rightarrow \ Voc\^e \ chega \ no \ mesmo \ !$

$Ent\~ao, \ \boxed{\boxed{b \ = \ 1}}.$

Answer 2

O valor de b é 1.

Cálculo de áreas

Para resolver a questão, precisamos calcular a área do triângulo através de seus vértices. Sejam A = (-a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), podemos calcular a área do triângulo pelo determinante da matriz abaixo:

$A=\left[\begin{array}{ccc}-a&0&1\\0&b&1\\c&0&1\end{array}\right]$

Temos então:

det = -a·b·1 - c·b

det = -b(a + c)

A área do triângulo será:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot |det(A)|\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot |-b(a+c)|\\ A=\dfrac{b(a+c)}{2}$

Sabendo que a, b e c estão em progressão aritmética, podemos dizer que b é a média aritmética entre a e c:

$b = \dfrac{a+c}{2}$

Logo, temos:

A = b²

Como a área do triângulo é igual a b, temos:

b = b²

As duas soluções para essa igualdade são b = 0 e b = 1. Como b é estritamente positivo, b = 0 é inválido. Portanto, o valor de b é 1.

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